ESTIM DIFER MEDIAS PROP

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

ESTIMACIÓN INTERVÁLICA PARA LA
DIFERENCIA DE MEDIAS Y
PROPORCIONES POBLACIONALES

1

CONTENIDO:
o Estimación puntual e interválica de diferencia de promedios.
o Estimación de diferencia de proporciones.

LOGRO DE LA SESION:
Al término de la sesión, el estudiante desarrolla ejercicios de situaciones
reales, en las cuales se utiliza la estimación interválica para ladiferencia
de medias y proporciones poblacionales, con coherencia en el
procedimiento y precisión en el cálculo.

3

CASO DE APLICACIÓN 1:

.
NIVELES DE CALCIO EN CEMENTO
ESTÁNDAR Y EN CEMENTO
CONTAMINADO CON PLOMO
Un artículo publicado dio a conocer los resultados de un análisis del peso de
calcio en cemento estándar y en cemento contaminado con plomo.
Los niveles bajos de calcio indican que elmecanismo de
hidratación del cemento queda bloqueado y esto permite
que el agua ataque varias partes de una estructura de
cemento.

Se quiere saber si la presencia de plomo afecta el peso
medio de calcio en el cemento. Al tomar diez muestras
de cemento estándar, se encontró que el peso promedio
de calcio es de 90 (g/kg) con una desviación estándar de
5 (g/kg); los resultados obtenidos con 15muestras de
cemento contaminado con plomo fueron de 87 (g/kg) en
promedio con una desviación estándar de 4 (g/kg) .

¿El peso medio de calcio en cemento estándar es mayor al del cemento
contaminado con plomo?.
O La diferencia en los resultados, se debe simplemente al muestreo.
4

1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE
MEDIAS (σ12 y σ22 conocidas)
Se desea estimar la diferencia de dos mediaspoblacionales con
una confianza del 100(1-α)% para muestras de tamaño n1 y n2
(muestras grandes).
Las poblaciones donde provienen las variables pueden presentar
o no una distribución normal, pero sus varianzas poblacionales
son conocidas. En este caso se emplea la distribución Z,
concluyéndose que:

1  2 

( x1  x2 )  z1 2

 12  22
 12  22
 ; ( x1  x2 )  z1 2

n1 n2
n1 n2

2.INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE
MEDIAS
A. Muestras Independientes y varianzas poblacionales homogéneas

(σ12 = σ22 desconocidas): Con una confianza del 100(1-α)%. Usando la
distribución t – student con n1 + n2 – 2 grados de libertad, se concluye
que:

1   2  

( x1  x2 )  t(1 2 ),n1  n2  2
2
2
n

1
S

n

1
S




1
1
2
2
S2 
p

n1  n2  2

1 1
S   
 n1 n2 
2p

2. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE
MEDIAS
B.

Muestras

Independientes

y

varianzas

poblacionales

heterogéneas (σ12 ≠σ22 desconocidas) : Con una confianza del
100(1-α)%. Usando la distribución t – student con v grados de
libertad, se concluye que:

1   2  

( x1  x2 )  t(1
2

 S12 S 22 
  
n
n
   12 2  2
 S12   S 22 
   
 n1    n2 
n1  1
n2  12 ),v

 S12 S 22 



 n1 n2 

3. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE
PROPORCIONES
Si se desea estimar la diferencia de proporciones poblacionales 1 - 2
con una confianza del 100(1-α)%, se puede usar la distribución Z,
concluyéndose que:

 1   2    p1  p2  z1 2
NOTA:

p1 1  p1  p2 1  p2 

n1
n2

Si el intervalo contiene al valor cero, se concluye que lasproporciones poblacionales son iguales.

Ejemplo 1:
Se llevan a cabo pruebas de resistencia a la tensión sobre dos diferentes clases de
largueros de aluminio utilizados en la fabricación de alas de aeroplanos comerciales. De la
experiencia pasada con el proceso de fabricación de largueros y del procedimiento de
prueba, se supone que las desviaciones estándar de las resistencias a la tensión sonconocidas. Los datos obtenidos se presentan en la siguiente tabla:

Clase de
larguero

Tamaño de la
muestra

Media muestral de la
resistencia a la tensión

Desviación Estándar

1

n1 =10

𝑥1 =87.6 (kg/mm2)

𝜎1 = 1 (kg/mm2)

2

n2=12

𝑥2 =74.5 (kg/mm2)

𝜎2 = 1.5(kg/mm2)

Si µ1 y µ2 indican los verdaderos promedios de las resistencias a la tensión para las dos
clases de largueros, hallar un intervalo...