Estimaci n del error en sistemas de ecuaciones algebraicos diferenciales perturbados

Mecánica Computacional Vol XXV, pp. 1101-1112
Alberto Cardona, Norberto Nigro, Victorio Sonzogni, Mario Storti. (Eds.)
Santa Fe, Argentina, Noviembre 2006

ESTIMACIÓN DEL ERROR EN SISTEMAS DE ECUACIONES
ALGEBRAICOS DIFERENCIALES PERTURBADAS
Gustavo Boronia, Pablo Lotitoa y Alejandro Claussea,b
a

b

CONICET y Universidad Nacional del Centro, 7000 Tandil, Argentina
Comisión Nacional de EnergíaAtómica, 1429 Ciudad de Buenos Aires, Argentina
{gboroni, clausse, plotito}@exa.unicen.edu.ar

Palabras clave: Simulación, Análisis numérico, Modelización.
Resumen. En este trabajo se propone la aplicación de un nuevo método para la estimación del error
inducido por perturbaciones en las condiciones iniciales, basado en la teoría de sistemas adjuntos. A
partir de dicha técnica se obtiene unaaproximación del error independientemente de las perturbaciones
iniciales, lo cual facilita la estimación del error para sistemas de ecuaciones con gran cantidad de
parámetros. Además se propone una extensión al método de estimación basada en la utilización de
funciones estimadoras, que permiten transformar el sistema adjunto original en un sistema puramente
algebraico, para el cual es posible aplicar unagran variedad de métodos numéricos eficientes.

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G. BORONI, P. LOTITO, A. CLAUSSE

INTRODUCCIÓN

La cuantificación del error es una de las preocupaciones principales en análisis numérico.
Hay diversas fuentes de errores, incluyendo error de redondeo, error en los datos, y en la
incertidumbrepropia del modelo. La mayoría de estos errores no se pueden determinar a
priori, pero es posible calcular cotas en base a métodos perturbativos. Un aspecto importante
del análisis numérico es construir algoritmos confiables y eficientes, que permitan estimar o
controlar el error en la solución final dentro de una tolerancia adecuada cuando se soluciona
un problema.
Desde los primeros análisisnuméricos de ODEs se dedicaron muchos esfuerzos al estudio
de los errores, ya que una estimación del error puede ayudar a determinar si es posible confiar
o no en la solución o aún en el modelo mismo (Dahlquist 1981, Hairer 1987, Henrici 1962 y
Shampine 1976). La mayoría de los métodos propuestos para estimar errores globales se
basan en métodos a priori y el análisis asintótico para pequeños paso detiempo (Shampine
1976, Skeel 1986 y Stetter 1978). Un método simple es estimar el error global calculando la
solución con diversas fórmulas o pasos de tiempo. La diferencia sirve como estimación del
error global. Sin embargo este tipo de estimación no es confiable desde el punto de vista
numérico.
Un aspecto importante en problemas de ingeniería es el impacto de una respuesta del
modelo funcional acambios inducidos en los parámetros; lo que usualmente se conoce como
sensibilidad. Por ejemplo, en los pronósticos climatológicos se desea encontrar qué
perturbaciones en las condiciones iniciales pueden producir el cambio más grande de la
exactitud del pronóstico, lo cual ayuda a identificar las localizaciones en donde la adquisición
de datos adicionales puede ser necesaria (Faucher 2002 y Koruda2004). Para este tipo de
problemas sólo puede obtenerse una aproximación de la medida de cambio, y a partir del
estudio de perturbaciones se ha creado toda una teoría que encierra dicha problemática.
El aporte de este trabajo es presentar la aplicación de un nuevo método para la estimación
del error inducido por perturbaciones en las condiciones iniciales basado en sistemas
adjuntos, cuya teoríafue recientemente propuesta para ecuaciones algebraicos diferenciales
(Cao 2004). Apoyándose en dicha técnica se obtiene que la estimación del error es
independiente de las perturbaciones iniciales, con lo cual es posible estimar el error inducido
para cualquier perturbación. En este trabajo se propone una extensión de la técnica a
esquemas de resolución por medio de funciones estimadoras, que...