Estimaci N

ESTIMACIÓN
puntual y por intervalo
(

)
V.E.Rohen

¿Podemos conocer el comportamiento del ser humano?
V.E.Rohen

Podemos usar la información contenida en
la muestra para tratar de “adivinar”
adivinar algún
aspecto de la población bajo estudio y
sustituirla en lo que sería nuestra “verdad
desconocida”
desconocida
Esto, por supuesto,
implica que la información
que obtenemos de
nuestrasobservaciones
debe ser representativa
del particular aspecto de la población.
V.E.Rohen

Es importante notar que no siempre coincide la
información que hemos observado con la
información real de la población.

x

µ

x

Sin embargo, es una buena aproximación y la
podemos utilizar para
! la!estimación de las
características propias de dicha población.
V.E.Rohen

Podemos entonces dar una
medida de dichaincertidumbre:

" = # $ #ˆ

solo me
equivoco el
5% de las
veces

(Esta medida nos ayudará a crear
estimadores por intervalo para medias y
proporciones muestrales)

!

V.E.Rohen

La distribución de la muestra y de las
“estadísticas” juega un papel crítico en la
inferencia estadística porque la bondad de
los estimadores se mide en base a la media
y varianza de éstas.
Muestra
Estadística
EstimadorDistribución
V.E.Rohen

Las muestras son tomadas para Estimar
parámetros y para Probar Hipótesis acerca
de los parámetros
Un parámetro es una medida numérica de algún
aspecto de la población
Cuando no tenemos la información sobre toda la
población es necesario estimar el valor del
parámetro en base a la información de la muestra
sobre dicho aspecto de interés y tenemos lo que se
llama “estadística”V.E.Rohen

Supongamos que tomamos una muestra de una
población y obtenemos la media muestral.
Si tomamos otra muestra obtendremos otro
valor de la media muestral, y así sucesivamente.
Todas estas medias serán variables aleatorias
que tienen asociada una función de densidad.
Lo mismo sucede con las varianzas muestrales
que cambian su valor de muestra a muestra y
con las proporciones muestrales.V.E.Rohen

Pero el promedio de todas las medias muestrales posibles
con o sin reemplazo (cada una del mismo tamaño n) es
igual a la media poblacional µ.
La fluctuación en el número que representa a estas medias
muestrales se ve en un histograma de todos los posibles
valores de éstas. Estas fluctuaciones son menores que las
fluctuaciones de los valores en la población.
Estas variaciones entre lasmedias muestrales se conoce
como error estándar de la media y se obtiene como

"
"X =
n
V.E.Rohen

!

Se puede observar que si el tamaño de la muestra
aumenta, el error estándar disminuye.
¿Qué distribución sigue la media muestral?
Teorema Central del Límite
Consideremos muestras aleatorias de una población
con media µ y varianza σ 2, conforme el tamaño de la
muestra crece, la distribución de lasmedias
muestrales es aproximadamente NORMAL, sin
importar la forma de la distribución de la población.
V.E.Rohen

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA
MUESTRAL

X
Recordemos que la media muestral X
obtenida de una muestra aleatoria de
tamaño n de una población con media µ y
varianza σ 2, tiene una distribución normal
con media µ y varianza σ 2/ n
V.E.Rohen

Vamos a poder medir qué tanto se desvía la
mediamuestral de la media poblacional a
través del valor Z, de la siguiente manera

(

X "µ
X "µ X "µ
Z=
=
=
#
#X
#
n

!

)

n

Es fácil ver que la Z, que es una estadarización
de la media muestral, sigue una distribución
N(0,1)

V.E.Rohen

0.5

Density

0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-3

-2

-1

0

1

2

3

4

C1

V.E.Rohen

Con frecuencia estamos interesados en
determinar si la media de una población es
diferentede la media de otra poblacion.
Si la Población 1 tiene una media µ 1 y una
desviación estándar σ1 y la Población 2 tiene
una media µ 2 y una desviación estándar σ2 ,
nos gustaría determinar si µ 1= µ 2 o si una es
mayor que la otra (µ 1> µ 2 ó µ 1< µ 2 )

V.E.Rohen

para lo cual nos basamos en la evidencia que
tenemos al considerar dos muestras aleatorias,
una de cada una de las poblaciones y...