Estimacion Del Error De Teorema De Tayler

CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR
A continuación veremos algunos ejemplos para aproximar una función utilizando la fórmula de Taylor con residuo.Ejemplo 4. Encuentre un valor aproximado para sen(35º) utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y estime el error.
Solución. Al igual que cuando utilizamos larecta tangente para efectuar aproximaciones, queremos aproximar a la función sen(x) en el valor de 35º, para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en un punto xocercano a éste el cual es
xo =  /6 (30º expresados en radianes), es decir:
 
a) f(x) = sen(x)
b) xo =  /6                30º en radianes
f (x) = sen(x)                f( /6) = 0.5
f ' (x) = cos(x)               f ' ( /6) = 0.8660254
f '' (x) = -sen(x)             f '' ( /6) = -0.5
f (3) (x) = -cos(x)           f ' (/6) = -0.8660254
f (4) (x) = sen(x)
En este caso particular la fórmula de Taylor nos quedaría:

Que sustituyendo, nos da la fórmula de Taylor de f(x) = sen(x) enxo =  /6

Esta expresión nos servirá para estimar valores de sen(x) para x cercanos a  /6.
En particular para x =  /6 +

sen(35º) = 0.5 + 0.0755749 -0.001903858 - 0.000095922 + E3
sen(35º) = 0.57357512 + E3
En la expresión para el error al aproximar con un polinomio de grado 3
E3 = = (0.00000241)sen(c)
El errorsiempre lo obtendremos en términos de un valor c entre x y xo, sin embargo como esta indeterminada c aparece en sen(c), la cual se encuentra acotada entre -1 y 1, esdecir

entonces podremos tener una cota para el error, es decir,

y en consecuencia la aproximación se obtuvo con un error que no excede de 0.00000241