Estimacion numero pi, metodo de exhaucion

ESTIMACIÓN DEL NÚMERO π
Carpeta tipo 1

Alumno: Juan d’Etigny
Fecha: jueves, 15 de abril 2010
Profesor: Mauricio Bustos

El objetivo de esta carpeta es calcular el número π de la misma manera que lo hizo Arquímedes, explicar cómo lo logro y observar su método.

La razón que se usará corresponde a la técnica desarrollada por Arquímedes, conocida como el método de exhaución. El método deexhaución nos explica como el valor de π se puede sacar, calculando la razón de área entre un polígono regular de n lados (por ejemplo un pentágono), inscrito y uno similar circunscrito. Naturalmente el polígono al tener más lados poseerá una forma más parecida en relación al de un círculo, y así se saca π de manera más exacta.

De forma gráfica el método se representa así:

Aquí nosmuestra como se dibujan varios polígonos regulares (pentágono, hexágono y octágono), tanto inscritos como circunscritos, para luego dividirlos en triángulos isósceles correspondientes a su cantidad de lados y deducir el valor de π con la fórmula de a continuación.

Para las dos fórmulas de a continuación se considera el valor de α=180/ n
FÓRMULA POLÍGONOS INSCRITOS

La fórmula que yo usé para sacarlos polígonos inscritos, corresponde a: { [(COSα) *2(SENα)] /2 } * n.
Lo que (COSα) representa, es al cálculo de la base del triángulo, ya que se evita colocar la multiplicación con la HIP (hipotenusa) en el cálculo, ya que a esta se le asigna el valor de 1, puesto a que en los polígonos inscritos el r es equivalente a la HIP, y ya que se están usando círculos unidad, r=1 (lo que nospermite excluirlo de la ecuación puesto a que los cálculos no se ven afectados por este valor positivo).
Luego 2(SENα), corresponde al cálculo de la base del triángulo, ya que al separar el triangulo isósceles en dos triángulos rectángulos la base queda como dos catetos opuestos a α, lo que nos permite calcular el valor de la base de inmediato multiplicando por 2.
Los pasos que restan correspondensimplemente a multiplicar la base por la altura y dividir su resultado en 2 (para sacar el área de un triángulo de manera aislada), para luego multiplicar este resultado por la cantidad de triángulos o lados valor que es n.r=1

FÓRMULA POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS

La fórmula que usé para el caso de los polígonos circunscritos en un circulo unidad es la de [2*(TANα) / 2] * n.
Ya que la altura corresponde a 1 (en caso de los polígonos circunscritos la altura corresponde a r), la ecuación solo consta en sacar el valor de la base, lo cual se puede hacerusando TAN (tangente) de α multiplicado por el cateto adyacente, el cual en este caso sería 1. Con la información anterior podemos determinar que la base será de 2*TANα, lo que nos resta hacer la ecuación para determinar el área del polígono.

A continuación se presentará una tabla con una aproximación de π con polígonos inscritos y circunscritos de 10 hasta 400 lados. A lo largo de la tabla sepuede notar en la mayoría que la cantidad de decimales de precisión corresponde a 2 números.
π | alpha radianes | n | alpha grados |
(2*TAN(α)/2*n)≥ | ≤(COS(α)*2*(SENO(α)))*n/2 |   |   |   |
3.249196962 | 2.9389262615 | 18 | 10 | 0.314159265 |
3.167688806 | 3.0901699437 | 9 | 20 | 0.157079633 |
3.153127058 | 3.1186753623 | 6 | 30 | 0.104719755 |
3.148068273 | 3.1286893008 | 4.5 | 40 |0.078539816 |
3.145733363 | 3.1333308391 | 3.6 | 50 | 0.062831853 |
3.144466757 | 3.1358538980 | 3 | 60 | 0.052359878 |
3.143703625 | 3.1373758116 | 2.571428571 | 70 | 0.044879895 |
3.143208561 | 3.1383638291 | 2.25 | 80 | 0.039269908 |
3.142869254 | 3.1390413185 | 2 | 90 | 0.034906585 |
3.142626604 | 3.1395259765 | 1.8 | 100 | 0.031415927 |
3.1424471 | 3.1398845975 | 1.636363636 |...