Estimación Estadística
Objectiu
j
de l’estimació estadística.
Propietats dels estimadors.
Estimació puntual.
Estimació per intervals.
Mètodes per construir estimadors.
ESTADÍSTICA II. Estimació
1
ESTIMACIÓ
Objectiu
j
de l’estimació estadística.
Propietats dels estimadors.
Estimació puntual.
Estimació per intervals.
Mètodes per construir estimadors.
ESTADÍSTICAII. Estimació / Criteris generals d’estimació
2
OBJECTIU DE L’ESTIMACIÓ ESTADÍSTICA
Aproximació ràpida al valor del paràmetre poblacional d’interès.
Eina de l’estimació estadística:
ESTADÍSTIC = ESTIMADOR
Utilització del nom segons l’ús que li donem:
ESTIMADOR: com a part de càlculs per inferir el paràmetre poblacional
ESTADÍSTIC: com a part de càlculs més elaborats que enspermetran
extraure conclusions sobre el paràmetre poblacional
ESTADÍSTICA II. Estimació / Objectiu de l’estimació estadística
3
ESTIMACIÓ
Objectiu
j
de l’estimació estadística.
Propietats dels estimadors.
Estimació puntual.
Estimació per intervals.
Mètodes per construir estimadors.
ESTADÍSTICA II. Estimació / Propietats dels estimadors
4
PROPIETATS DELS ESTIMADORS
Qualsevol inferència que es faci sobre la població es basa en estimadors
mostrals.
Quin és el millor estimador per un paràmetre?
Per obtenir bones estimacions dels paràmetres θ , els estimadors θˆ
haurien de complir certes propietats desitjables:
NO ESBIAIXATS
EFICIENTS
CONSISTENTS
ESTADÍSTICA II. Estimació / Propietats dels estimadors
5
PROPIETATS DELS ESTIMADORS
NOESBIAIXATS
Estimador θˆ no esbiaixat d’un paràmetre poblacional θ quan
E (θˆ) = θ
No significa que un determinat valor de θˆ sigui exactament el valor
correcte de θ
L’estimador
estimador θˆ estima en mitjana correctament el paràmetre poblacional θ
L
bi i t
θˆ1 no esbiaixat
θˆ
1
θˆ2
θ
ESTADÍSTICA II. Estimació / Propietats dels estimadors
θˆ2 esbiaixat
θˆ
6PROPIETATS DELS ESTIMADORS
NO ESBIAIXATS
Definirem el biaix com Biaix(θˆ) = E (θˆ) − θ
En el cas d’un estimador no esbiaixat Biaix(θˆ) = E (θˆ) − θ = θ − θ = 0
No esbiaixat
Esbiaixat
ESTADÍSTICA II. Estimació / Propietats dels estimadors
7
PROPIETATS DELS ESTIMADORS
EFICIENT
Estimador eficient (idea general): aquell estimador que en mitjana
comet el menor error enl’estimació
l estimació.
Si hi ha varis estimadors no esbiaixats d’un paràmetre,
l’estimador no esbiaixat que té menor variància és l’estimador
més eficient = estimador no esbiaixat de mínima variància.
Es diu que θˆ1 és més eficient que θˆ2 si
Var (θˆ1 ) < Var (θˆ2 )
L’estimador més eficient és aquell que està més centrat al voltant de
la seva esperança.
ESTADÍSTICA II. Estimació /Propietats dels estimadors
8
PROPIETATS DELS ESTIMADORS
EFICIENT
Suposem dos estimadors no esbiaixats, quin és el més eficient?
= no esbiaixat =
<
eficient
θˆ1
θˆ2
θˆ3
θ
ESTADÍSTICA II. Estimació / Propietats dels estimadors
θˆ
9
PROPIETATS DELS ESTIMADORS
EFICIENT
No sempre es possible tenir un estimador no esbiaixat.
Si hi h
ha varis
i estimadorsti d
qualsevols
l
l d’un
d’ paràmetre,
à t
l’estimador més eficient és el de menor error quadràtic mig (EQM)
on
EQM (θˆ) = E (θˆ − θ )2 = V (θˆ) + B(θˆ)2
Es diu que
θˆ1
és més eficient que θˆ2 si EQM (θˆ1 ) < EQM (θˆ2 )
ESTADÍSTICA II. Estimació / Propietats dels estimadors
10
PROPIETATS DELS ESTIMADORS
CONSISTENT
Molts cops resulta difícil trobar estimadorseficients.
Observarem
Obser arem les propietats asimptòtiques
asimptòtiq es (a
(augmentant
gmentant la mida mostral)
mostral).
Estimador asimptòticament inesbiaixat: aquell estimador on el seu biaix
desapareix quan la mostra tendeix a infinit.
lim Biaix (θˆ) = 0
n →∞
Estimador consistent (idea general): aquell estimador on l’error quadràtic
mig (EQM) es fa zero quan la...
Regístrate para leer el documento completo.