Estimadores

TEMA 2: ESTIMACIÓN PUNTUAL. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA.

1. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA

El objetivo básico de la inferencia estadística es hacer inferencias o sacar conclusiones sobre la población a partir de la información contenida en una muestra aleatoria de la población. Más específicamente, podemos decir que la inferencia estadística consiste en el proceso deselección y utilización de un estadístico muestral, mediante el cual, utilizando la información que nos proporciona una muestra aleatoria, nos permite sacar conclusiones sobre características poblacionales.
Cualquier inferencia o conclusión obtenida de la población, necesariamente, estará basada en un estadístico muestral, es decir, en la información proporcionada por la muestra (formalmentedefinimos un estadístico como una función de las observaciones muestrales). La elección del estadístico apropiado dependerá de cuál sea el parámetro poblacional que nos interese. El valor verdadero del parámetro será desconocido y un objetivo sería estimar su valor, por lo que tal estadístico se denomina estimador.
Las inferencias sobre el valor de un parámetro poblacional θ se pueden obtenerbásicamente de dos maneras: a partir de estimación o bien a partir del contraste de hipótesis.
En la estimación, basta seleccionar un estadístico muestral cuyo valor se utilizará como estimador del valor del parámetro poblacional.
En el contraste de hipótesis, se hace una hipótesis sobre el valor del parámetro θ y se utiliza la información proporcionada por la muestra para decidir si la hipótesis seacepta o no.
Ambos métodos de inferencia estadística utilizan las mismas relaciones teóricas entre resultados muestrales y valores poblacionales. Así pues, una muestra es sacada de la población y un estadístico muestral es utilizado para hacer inferencias sobre el parámetro poblacional. En estimación, la información muestral es utilizada para estimar el valor del parámetro θ. En el contraste dehipótesis, primero se formula la hipótesis sobre el valor de θ y la información muestral se utiliza para decidir si la hipótesis formulada debería ser o no rechazada.
Pero cuando se utiliza la inferencia para estimar un parámetro poblacional debemos decir cómo de buena es esa inferencia, o sea debemos dar una medida de su bondad. Para ello será necesario conocer la diferencia existente entre laestimación del parámetro poblacional, calculada a partir de una muestra específica de tamaño n, y el valor verdadero del parámetro poblacional.

2. EL PROBLEMA DE LA ESTIMACIÓN: ESTIMACIÓN PUNTUAL

La estimación estadística se divide en dos grandes grupos: la estimación puntual y la estimación por intervalos. La estimación puntual consiste en obtener un único número calculado a partir de lasobservaciones muestrales, y que es utilizado como estimación del valor del parámetro θ. Se le llama estimación puntual porque a ese número, que se utiliza como estimación del parámetro θ, se le puede asignar un punto sobre la recta real. En la estimación por intervalos se obtienen dos puntos ( un extremo inferior y un extremo superior) que definen un intervalo sobre la recta real, el cualcontendrá con cierta seguridad el valor del parámetro θ.
El estimador del parámetro poblacional θ es una función de las variables aleatorias u observaciones muestrales y se representa por
[pic]=g ([pic])
Para una realización particular de la muestra ([pic]) se obtiene un valor específico del estimador que recibe el nombre de estimación delparámetro poblacional θ y lo notaremos por
[pic]= g ([pic])
Vemos pues que existe diferencia entre estimador y estimación. El estimador es un estadístico y, por tanto, una variable aleatoria y el valor de esta variable para una muestra concreta ([pic]) será la estimación puntual. El estimador θ tendrá su distribución muestral.

En la...