Estocasticos

¿Para qué sirve la teoría de los Procesos Estóscasticos?
Estudio y modelización de sistemas que evolucionan a lo largo del tiempo, o del espacio, de acuerdo a unas leyes no determinísticas. ¿Cómo describir un sistema estocástico? Mediante sucesiones o colecciones de variables aleatorias
Enero, 2010

Procesos Estocásticos
Profesor:

Octavio Gutiérrez

Ejemplos Procesos EstocásticosSeñales de telecomunicaciones Señales sísmicas Fluctuaciones de la Bolsa de Valores El tiempo de espera en cola de cada uno de los usuarios que van llegando a una ventanilla El clima es un gigantesco cúmulo de procesos estocásticos interrelacionados

¿Qué es un Proceso Estócastico?
Sea α el resultado de un experimento. Supongamos que para cada resultado X(t,α) tenemos asignada un forma de onda.
X (t,α )

M
X (t ,α n ) X (t ,α k ) X (t ,α 2 ) X (t , α1 )
0

M M
t

t1

t2

¿Qué es un Proceso Estócastico?
El conjunto de estas ondas forma un proceso estocástico.
X (t ,α )

¿Qué es un Proceso Estócastico?
X (t ,α )

M
X (t ,α n ) X (t ,α k )

M M
0

Para un conjunto fijo de resultados experimentales S |αi ∈S, tenemos una función de tiempo X(t,α).
Para un tiempo t,tenemos una variable aleatoria:
t

M
X (t ,α n ) X (t ,α k ) X (t ,α 2 ) X (t , α1 )
0

M M
t

El conjunto de αk y el índice de tiempo t puede ser continuo o discreto (contable infinito o finito)

X (t ,α 2 ) X (t , α1 )

X 1 = X (t1 , α i )

t1

t2

t1

t2

Cada variable aleatoria tiene asignada una función de distribución probabilística

1

Experimentos y sucesosaleatorios
Se dice que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones

Repaso de Cálculo de Probabilidades

Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones.
Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener. El resultado que se obtenga, e, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles. ESPACIO MUESTRAL (E)Experimentos y sucesos aleatorios
Los elementos del espacio muestral se denominan SUCESOS ELEMENTALES. e 1 , e2

Experimentos y sucesos aleatorios
Algunos Sucesos Aleatorios:
Suceso seguro: Es aquel que siempre se verifica después del experimento aleatorio, es decir, el mismo E E

Cualquier subconjunto de E se denominará SUCESO ALEATORIO y lo denotaremos con las letras A, B, … A, BSuceso imposible: Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio. Como debe ser un subconjunto de E, la única posibilidad es que el suceso imposible sea el conjunto vacío:

E

Experimentos y sucesos aleatorios
Algunos Sucesos Aleatorios:
Suceso complementario de A: es el suceso que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A. acostumbra adenotar con el símbolo A c. Ac = {e

Experimentos y sucesos aleatorios
Ejemplo: Si realizamos el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire, tenemos

E : e ∉ A} .

£ ¢
E

¢¤

  ¡

E

E

E

 

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Experimentos y sucesos aleatorios
Operaciones básicas con sucesos aleatorios
A
A B A B A

Experimentos y sucesos aleatorios
Leyes de Morgan

A∪ B = A∩ B ;

A∩ B = A∪B

A∪ B
A B

A∩ B

A

A

B

A

B

A

B

A∪ B

A∪ B

A∩ B

A∩ B =φ

Experimentos aleatorios y probabilidad
Se denominan experimentos deterministas aquellos que realizados de una misma forma y con las mismas condiciones iniciales, ofrecen siempre el mismo resultado. Ejemplo: tenemos que un objeto de cualquier masa partiendo de un estado inicial de reposo, y dejado caeral vacío desde una torre, llega siempre al suelo con la misma velocidad.

Experimentos aleatorios y probabilidad
Cuando en un experimento no se puede predecir el resultado final, hablamos de experimento aleatorio. Este es el caso cuando lanzamos un dado y observamos su resultado.

Experimentos aleatorios y probabilidad
En los experimentos aleatorios se observa que cuando el número de...