estocasticos

CADENAS MARKOVIANAS
SISTEMAS ESTOCASTICOS

1. Si repetitivamente se lanza una moneda con probabilidad p de caer cara y se cuenta el número de caras resultantes de las tiradas sucesivas. Si se comienza con 0 y sea Tn= número de veces que hay que tirar la moneda para alcanzar n caras ¿Cuál es la distribución de probabilidades de Tn?

2. Si la máquina automática de venta de refrescotiene una probabilidad δ = 0,2 de fallar el próximo día y una probabilidad γ de reparase el próximo día. Si se observa que el día Lunes la máquina esta bien:
¿Cuál es la probabilidad que la máquina permanezca trabajando sin fallar los días martes, miércoles y jueves. ¿Cuál es la probabilidad de que falle el jueves?

3. Un juego independiente se puede ganar con p= 18/38 se repitesucesivamente hasta que algún jugador obtiene tres triunfos sucesivos y gana. Si el jugador ha ganado 2 juegos consecutivos
¿Cuál es la probabilidad de ganar el pozo en las próximas 5 jugadas?

4. Para el juego anterior, si se gana con 4 juegos sucesivos
1. Dibuje el diagrama de transición del juego
2. So p= 18/38 y el juego lleva 3 éxitos sucesivos ¿Cuál es la probabilidad de que gane el pozoen las próximas 5 tiradas?

5. Un experimento consiste en tirar 2 monedas balanceadas y contar el número de caras obtenido. Se repite sucesivamente el juego en forma independiente modele lo mediante una cadena de Markov y dibuje su diagrama de transición de estado para el número de sus caras.

6. Un juego que se puede ganar con probabilidad p, se repite sucesivamente en forma independientepor un jugador. Si las apuestas son múltiplos de $ 1 y el pago es doble o nada. Bajo el supuesto que el jugador sigue la estrategia del doblete económico hasta alcanzar $ 7.
a. Dibuje el diagrama de transición del juego
b. Calcule las probabilidades de obtener $ 7 en a lo mas 6 juegos
3. Calcule la probabilidad eventual de obtener $ 7

7. Para el juego del problema 2 sean x e y losestados de la máquina automática de refrescos entre los días Martes y Miércoles sucesivos. si se supone que el lunes estaba funcionando bien.
a. Calcule la probabilidades de la distribución conjunta de x e y.
b. Calcule las distribuciones marginales de la densidad de probabilidades de x e y, ¿Son independientes? ¿Son idénticamente distribuidas?

8. Modifique el problema de la máquina automáticade servicios de la siguiente manera. Suponga que la probabilidad de que la máquina este trabajando cualquier solo depende del estado de la máquina en los dos último días. Específicamente suponga que P[ X(n+1) = k/ X(n-1) = l y X(n) = j ) = qjk sea además qoo= ¾ , q1o = 4/5 y qo1= 2/3
a. Demuestre que X(n) no es una cadena de Markov
b. Defina un nueva variable de estados para estemodelo tomando los pares de estados binarios (jk) se dirá que la maquina esta en el día n-1 en j estará el día n en k. Demuestre que en el nuevo espacio se trata de una cadena de Markov, dibuje su diagrama de transición de estado.
c. Si la máquina esta trabajando el lunes y el martes ¿Cuál es la probabilidad que este trabajando el día jueves?

9. Compare los juegos del doblete y de la ruleta sien ambas se juega con fichas de $ 1 o sus múltiplos solamente y existe una probabilidad p de ganar cada juego. Sea B6 (p) y T6 (p) la probabilidad de ganar $5 en a lo mas 6 juegos para el doblete y la ruleta.
4. Calcule B6(p)/T6(p) para p = 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; y 0,7
5. ¿como es el cuociente de a?

10. Dado el siguiente modelo genético. Cada gen esta hecho de 3 subgenes que pueden sernormales o anormales. Se dice que el gen esta en estado i si contiene i subgenes normales. Cuando N genes ese replican dando origen primer 2N genes se forma un nuevo gene seleccionado al azar N subgenes de los 2Ngenes. Si se supone que un surgen normal da origen a un surgen normal y un surgen anormal en uno anormal. el gen del estado i duplica en 2 i subvienes normales y 2N- 2i subvienes...