estrategias

Repaso de Modelos Matem´ ticos de
a
Sistemas Din´ micos
a
Virginia Mazzone

Regulador centr´fugo de Watt
ı

Control Autom´ tico 1
a
http://iaci.unq.edu.ar/caut1
Automatizacion y Control Industrial
´
Universidad Nacional de Quilmes
Marzo 2002

Repaso de Modelos Matem´ ticos - 1
a

´ndice General
I
1

Ejemplos de modelos
1.1 Modelo del retardo temporal . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
3

2

Diagrama en bloques
´
2.1 Funcion transferencia a lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
2.2 Reduccion de un diagrama en bloque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
5

3

Repaso de la respuesta din´ mica
a
´
3.1 Respuesta al impulso y al escalon de sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . .7
8

1

Ejemplos de modelos

´
Los ejemplos que presentamos a continuacion fueron obtenidos de los ejemplos de uno
de los Tutoriales de Control de M ATLAB de la Carnagie Mellon (University of Michigan).
Antes de estudiar dichos modelos, repasemos las siguientes definiciones:
• Un modelo matem´ tico de un sistema din´ mico se define como un conjunto de ecuaa
a
´
ciones que representanla din´ mica del sistema con precision o, al menos, bastante
a
bien.
´
´
• La funcion transferencia de un sistema descrito mediante una ecuacion diferencial
lineal e invariante en el tiempo (LTI) se define como el cociente-entre la transformada
´
de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada bajo la suposicion
de que todas las condiciones iniciales son nulas.
Ejemplo1.1. La Figura 1 muestra un carro con un p´ ndulo invertido, impulsado por una
e
fuerza F. Determinar las ecuaciones din´ micas del movimiento, y linealizar alrededor del
a
´
angulo del p´ ndulo, θ = 0 (en otras palabras supongamos que el p´ ndulo no se mueve m´ s
e
e
a
que algunos grados de la vertical).

m, I

θ

F

m
x

Figura 1: P´ ndulo invertido
e
Si calculamos lasumatoria de las fuerzas en el diagrama de cuerpos libres, Figura 2, del
´
´
carro en la direccion horizontal, obtenemos la siguiente ecuacion de movimiento:
¨
˙
Mx + bx + N = F

(1)

Repaso de Modelos Matem´ ticos - 2
a
P

˙
Iθ 2

N
F

m, I
˙
bx

m
x
¨
x

l

¨
Iθ
¨
x

mg
N

θ

P

Figura 2: Diagrama de los dos cuerpos libres del sistema

Si ahoracalculamos la sumatoria de las fuerzas del p´ ndulo del diagrama de cuerpos
e
´
´
libres en la direccion horizontal, obtenemos una ecuacion para N
¨
˙
¨
N = m x + mlθ cos θ − mlθ 2 sin θ

(2)

´
´
Si sustituimos (2) en la ecuacion (1), obtenemos la primer ecuacion de este sistema
¨
˙
¨
˙
( M + m) x + b x + mlθ cos θ − mlθ 2 sin θ = F

(3)

´
Para obtener la segunda ecuacion demovimiento, sumemos las fuerzas perpendiculares
´
al p´ ndulo. Resolviendo el sistema a lo largo de este eje obtenemos la siguiente ecuacion
e
¨
¨
P sin θ + N cos θ − mg sin θ = mlθ + m x cos θ

(4)

Para deshacernos de los t´ rminos P y N de (4), sumemos los momentos alrededor del
e
centro del p´ ndulo para obtener
e
¨
− Pl sin θ − Nl cos θ = Iθ

(5)

´
Combinando (4) y (5),obtenemos la segunda ecuacion din´ mica
a
¨
( I + ml 2 )θ + mgl sin θ = −ml cosθ
¨

(6)

Ahora linealicemos las ecuaciones (3) y (6) alrededor de θ = 0. Si suponemos que
el p´ ndulo se mueve unos pocos grados alrededor del 0, podemos aproximar cos θ = 1,
e
˙
sin θ θ y θ 2 0. Por lo que las dos ecuaciones linealizadas son
¨
¨
−ml x =( I + ml 2 )θ + mglθ
¨
¨
˙
F =( M + m) x + b x + mlθEjemplo 1.2. La figura 3 muestra dos tanques en cascada los que queremos modelar.
´
La altura del tanque 1, h1 la podemos describir con la ecuacion
dh1
1
= ( f i − f 12 ),
dt
A
lo mismo para h2
dh2
1
= ( f 12 − f e )
dt
A

(7)
(8)

Repaso de Modelos Matem´ ticos - 3
a
bomba 1
fi

h2

h1

bomba2

f 12

fe

Figura 3: Diagrama de dos tachos en cascada

El caudal...