Estruct

ETSII-UPM

& iOFXOR P DWULFLDOGHHVWUXFWXUDV
UHWLFXODUHV SODQDVFRQ 0 DWODE
0 pWRGRV 0 DWHP iWLFRV GH(VSHFLDOLGDG
0 HFiQLFD0 iTXLQDV
0 DGULG GHVHSWLHP EUHGH
Javier García de Jalón
ETSII - Departamento de Matemática Aplicada
a la Ingeniería Industrial

Posibles aplicaciones de esta clase
ETSII-UPM
‰

Cálculo de estructuras de nudos articulados 2-D, tales como puentes

Estructurasreticulares planas
ETSII-UPM
‰

Hipótesis de partida:
¾

¾
¾

‰

La estructura está contendida en el plano vertical x-y, y la gravedad actúa en la
dirección negativa del eje y.
Las cargas exteriores y el peso propio actúan en el plano de la estructura.
Las deformaciones son pequeñas frente a las dimensiones de la estructura. Se
puede por ello suponer que la posición de equilibrio de la estructuradeformada
coincide con la posición inicial. El equilibrio de fuerzas habría que plantearlo
en la posición final o deformada, que no es conocida, por lo que el problema se
complicaría muchísimo (se hace no lineal).

Por tanto se supone que el problema es lineal y se aplica el principio
de superposición:
¾
¾

¾

Si se duplican las fuerzas, las deformaciones se duplican también.
Las deformaciones queresultan de aplicar dos o más sistemas de fuerzas
simultáneamente son la suma de las deformaciones que resultan de aplicar
cada sistema de fuerzas por separado.
Un problema lineal de estas características conduce a un sistema de ecuaciones
lineales del tipo:

.[ I

Datos necesarios para el cálculo
ETSII-UPM
‰

Se presentarán por medio de un ejemplo sencillo:
2
1
1

3

24

&2 2 5

ª0 0 º
«24 15 »
»
««24 0 »
«
»
«48 15 »
«48 0 »
«
»
«
¼
¬72 0 »

5

3
2

ª1
«1
«
«2
«
«2
%$ 5 6 «2
«
«3
«4
«
«4
«5
¬

4

4

5

6

24
2º
3»
»
3»
»
4»
5»
»
5»
5»
»
6»
6»
¼

IRUFHV

IL[HG

8

7
9

6

24

^0

^1

0 0 0 0 -10 0 0 0 0 0 0`

2 12`

[FRQ= ^0 0 0`
($

15

Fichero de datos para Matlab
ETSII-UPM

% fichero datos1.m
COOR=[ 0 0
24 15
24 0
48 15
48 0
72 0
];
EA= 10E+07;
BARS = [1
1
2
2
2
3
4
4
5
];

2
3
3
4
5
5
56
6

Fuerzas que actúan
en los 8 nudos
Coordenadas de
los 8 nudos

%(kg/cm*cm)*cm*cm
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA
EA

Nudos y
producto EA
para cada barra

forces=[0 0
0 0

0 0
0 0

0 -30 ...
0 0]';

% grados de libertad fijos
fixed=[1, 2, 12]';
% valores de los desplazamientos
%
conocidos
xcon=[0, 0, 0]';
% factor de escala para dibujar la
%
deformada
fac=300000;

% llamada al programa de cálculoestruct
Grados de
libertad con
desplazamiento
conocido

Matriz de rigidez de la estructura 1/2
ETSII-UPM
‰

‰

Significado de la columna i
de la matriz de rigidez . :
fuerzas que mantienen un
desplazamiento unidad
según el gdl i y cero
según todos los demás 1
gdl.
Estas fuerzas pueden
ªk
«k
«
calcularse sumando
«k
«
por separado las
«k
contribuciones de cada «««kk
«0
elemento:
«
11

21

31

41

5161

.[

¦N[
i

i

i

I

«0
«0
«
«0
«
«0
«
«0
¬

G8=1

4

k8,8
k7,8

2

k3,8

k4,8
3

5

6

k10,8

k12,8

k11,8

k12
k22

k13
k23

k14
k24

k15
k25

k16
k26

0
0

0
0

0
0

0
0

0
0

k32
k42

k33
k43

k34
k44

k35
k45

k36
k46

k37
k47

k38
k48

k39
k49

k3,10
k4,10

0
0

k52

k53

k54

k55

k56

0

0

k59

k5,10

0

k62
0
0

k63
k73
k83

k64
k74
k84

k65
0
0

k66
0
0

0
k77
k87

0
k78
k88

k69
k79k89

k6,10
k7,10
k8,10

0
k7,11
k8,11

0
0
0

k93
k10,3
0

k94
k10,4
0

k95
k10,5
0

k96
k10,6
0

k97
k10,7
k11,7

k98
k10,8
k11,8

k99
k10,9
k11,9

k9,10
k10,10
k11,10

k9,11
k10,11
k11,11

0

0

0

0

0

k12,7

k12,8

k12,9

k12,10

k12,11

0 º­u1 ½ ­ f1x ½
° °f °
0 »°
»°v1 ° ° 1 y °
0 »°u2 ° ° f 2 x °
»° ° ° °
0 »°v2 ° ° f 2 y °
0 »°u3 ° ° f 3 x °
»° ° ° °
0 »°
°v3 ° ° f 3 y °
® ¾ ® ¾
»
k7,12°u4 ° ° f 4 x °
»
k8,12 »°v4 ° ° f 4 y °
° ° ° °
k9,12 »°u5 ° ° f5 x °
»
k10,12 »°v5 ° ° f5 y °
»° ° ° °
k11,12 »°u6 ° ° f 6 x °
° °f °
»°
k12,12 ¼
°
»
° 6y ¿
°
¯v6 °
¿ ¯

Matriz de rigidez de la estructura 2/2
ETSII-UPM
‰

Contribuciones de cada barra
a la matriz de rigidez:
­ k1,8 ½
°
°
° k2,8 °
° k3,8 °
°
°
° k4,8 °
°k °
° 5,8 °
° k6,8 °
®
¾
° k7,8 °
° k8,8 °
°
°
° k9,8 °
°k °
° 10,8 °
°k11,8...