Estructural

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Ley de Newton de cambio de temperaturas.
E: Un termómetro se saca de una habitación –donde la temperatura del aire es de 70 ı F– al exteriordonde la temperatura es de 10 ı F. Después de medio minuto el termómetro marca 50 ı F.
¿Cuánto marca el termómetro cuando t D 1 min? ¿Cuánto tiempodeberá transcurrir para que
la temperatura marcada por el termómetro sea de 15 ı F?
D: H La temperatura T .t/ que marca el termómetro, en ı F, al cabo det minutos, está dada por la
solución del PVI:
T 0 .t/ D kŒT .t/

10; con T .0/ D 70 y además T .0:5/ D 50:

Resolvemos primero la ED:
dT
Dk.T
dt

dT
dT
D kdt )
Dk
dt )
T 10
T 10
) ln.T 10/ D k t C C ) T 10 D e kt CC D e kt e C D e kt C )

10/ )

)T

10 D C e kt ) T .t/ D 10C C e kt :

Ésta es la solución general de la ED. Considerando las condiciones proporcionadas:
T .0/ D 70 ) 10 C C e 0 D 70 ) C D 60 ) T .t/ D 10C 60e kt I
40
2
50 10
T .0:5/ D 50 ) 10 C 60e .0:5/k D 50 ) e .0:5/k D
D
D)
60
60
3
ÂÃ
ÂÃ
1
2
2
) .0:5/k D ln
) kD
ln
D 0:811 )
0:53
3
) T .t/ D 10 C 60e .0:811/t :
La expresión anterior es la solución del PVI. ¿Cuánto marca el termómetro al cabo de 1 min?
T .1/ D 10 C 60e.0:811/

D 36:665 ) T .1/

36:7 ı F:

¿Cuánto tiempo transcurre para que T D 15 ı F ?
15 10
1
D 15 ) e .0:811/t D
D
)
60
12
ÂÃ
ln.12/1
) .0:811/t D ln
) tD
D 3:064 )
0:811
12
) t 3 min, 4 s.

T .t/ D 15 ) 10 C 60e

12. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010

.0:811/t