ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 1

Universidad Aut´onoma de Nuevo Le´on,
Facultad de Ciencias F´ısico Matem´aticas

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Algebra
Lineal I
Dra. Mar´ıa Aracelia Alcorta Garc´ıa
Enero 2015

1

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Programa
• Estructuras Algebr´aicas
• Espacios Vectoriales
• Espacios con Producto Interno
• Transformaciones Lineales
• Eigenvalores y Eigenvectores
• Aplicaciones de Eigenvalores y Eigenvectores

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Organizaci´on del curso
Evaluaci´onParcial
1er Parcial
2do Parcial
3er Parcial
4to Parcial
5to Parcial
Proyecto 1
Proyecto 2

T´opico
Estructuras
Algebraicas
Espacios
Vectoriales
Espacios
con Prod. Int.
Transformaciones
Lineales
Eigenvalores y
Eigenvectores
Aplicaciones
Software
Tareas, Lab.,
Part. y Asist
Total

Porcentaje
16
16
16
16
16
5
5
10
100

• Libros de Texto
´
• Stanley I. Grossman, Algebra
Lineal, Sexta Edici´on,McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A. DE C.V.
• Eduardo Solar Gonz´alez, Apuntes de Algebra Lineal,1989, Editorial Limusa,
S.A. DE C.V.

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Estructuras Algebraicas

2.1

Operaciones binarias
• Cuando un conjunto esta provisto de una o varias operaciones binarias se tiene
un sitema algebraico. Es posible que dos conjuntos formados por elementos de
diferente naturaleza y provistos de operacionesdistintas tengan, sin embargo,
el mismo comportamiento algebraico; es decir, que las operaciones obedezcan
a las mismas leyes.
En este caso se dice que ambos sistemas poseen la misma estructura algebraica.
• A ciertas estructuras fundamentales se les han asignado nombres espec´ıficos
como el de grupo, anillo o campo.
• El concepto de operaci´on binaria es fundamental para el estudio de las estructurasalgebraicas.

• Podemos definir una operaci´on binaria como una regla que asigna a cada par
ordenado de elementos de un conjunto, un u´ nico elemento de dicho conjunto.

Definici´on Una operaci´on binaria ∗ definida en un conjunto S es una funci´on de
S × S. La imagen del par ordenado (a, b) bajo la operaci´on ∗ se representa con a ∗ b.
Ejemplos de Operaciones Binarias
• La adici´on y lamultiplicaci´on en el conjunto de los n´umeros naturales.
• La sustracci´on en el conjunto de los n´umeros enteros.
• La divisi´on en el conjunto de los n´umeros complejos diferentes de cero.
• La adici´on y la multiplicaci´on en el conjunto de matrices cuadradas de orden
n.
• La uni´on y la intersecci´on de conjuntos, etc.

El concepto de operaci´on binaria admite la existencia de nuevas operacionesbinarias.
Para poder definir una operaci´on binaria en el conjunto S bastar´a con especificar una
regla que asigne a cada par ordenado de elemntos de S un u´ nico elemento de S.
Por ejemplo: ”Al primer elemento agregarle el doble del segundo” en el conjunto de
los n´umeros naturales.
Sea quien represente la operaci´on anterior, esta quedar´a definida por la expresi´on
m n = m + 2n; ∀m, nεN,
tomenos elpar ordenado (1, 3) se obtendr´a como resultado el n´umero 7
1 3=7
Definici´on Sea ∗ una operaci´on binaria en un conjunto S :
• Un elemento eεS es un id´entico izquierdo para ∗ si e ∗ a = a; ∀aεS.
• Un elemento eεS es un id´entico derecho para ∗ si a ∗ e = a ;∀aεS.
• Un elemento eεS es un id´entico para ∗ si es id´entico izquierdo e id´entico derecho.

Ejemplo
Para la multiplicaci´on definida enel conjunto M de todas las matrices mxn con elementos en C, la matriz Im es un id´entico izquierdo ya que Im A = A, ∀A ε M y la
matriz In es un id´entico derecho puesto que In A = A, ∀AεM.
Definici´on
Sea ∗ una operaci´on binaria definida en un conjunto S, y:
• Sea e un id´entico izquierdo para ∗. Un ejemplo aˆ εS es un inverso izquierdo
del elemento a ε S si
aˆ ∗ a = e
• Sea e un id´enticoderecho para ∗. Un ejemplo aˆ ε § un inverso derecho del
elemento a ε S si
a ∗ aˆ = e
• Sea e un id´entico para ∗. Un elemento aˆ ε S es un inverso del elemento a ε S
si:
aˆ ∗ a = e y a ∗ aˆ = e.

Definici´on Sea ∗ una operaci´on binaria definida en un conjunto S.
Se dice que ∗ es asociativa si
∀a, b, cεS : a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.
Definic´ıon Sea ∗ una operaci´on binaria definida en un conjunto...