Estructuras Algebraicas 2011

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Fundamentos de la Matemática − 2011

1) Considera la relación dada por el siguiente diagrama sagital:

(0, 0)

(2, 3)
(1, 4)
(0, 2)
(7, 8)
(1, 0)
(3, 3)
(5, 1)
(6, 0)
(0, 6)
. ....
.......

0
5

2
15

1
6
.........
.....
.....

i) Observa la relación con atención y agrega en el conjunto de partida tres elementos y sus
correspondientes en el conjunto de llegada.
ii)Describe el conjunto de partida y el de llegada y asígnale un nombre a cada uno.
iii) La relación que estamos analizando, ¿es una función? Si así lo fuera, ¿con qué nombre la
bautizarías?
Definición
Dado un conjunto A, A ≠ ∅, decimos que ∗ es una operación binaria definida en A si, y
sólo si, ∗ de A × A en A es una función.
Simbólicamente:
∗ es una operación binaria definida en A (A ≠ ∅) ⇔ ∗ : A × A → Aes una función.

De esta definición se deducen dos propiedades muy importantes:

Unicidad: el resultado de operar dos elementos de A es único.
Clausura: el resultado de operar dos elementos de A es otro elemento de A.
Si retomamos la actividad inicial, seguramente acordaremos que la función descrita la
podemos llamar adición y notarla con el símbolo “+”. Tiene como dominio el conjunto ` × ` ycomo
codominio el conjunto `.
+ : ` × ` → ` es una operación binaria definida en `: la suma de dos elementos de ` es un
único elemento de `.
Consideremos (7, 8) ∈ ` × ` y 15 ∈ `.
+
15, escribimos 7 + 8 = 15
Como (7,8) ⎯⎯→
Cuando definamos en forma genérica una operación binaria en un cierto conjunto A,
utilizaremos letras minúsculas de nuestro alfabeto (a, b, c,…) para representar los elementos de A
yun símbolo arbitrario para designar a la operación (∗, #, !, ◊, Δ, …).

Profa. Mónica Olave – Prof. Gustavo Franco

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2) Investiga si las siguientes relaciones corresponden a operaciones binarias definidas en los
conjuntos que se indican en cada caso:
a) ∗ definida en A = {0, 1, 2}, tal que:
∗
0
1
2
b) # definida en ], tal que: a # b =

0
0
2
0

1
2
0
1

2
0
1
2

a +b

.2
c) ◊ definida en _, tal que: a ◊ b = a + b − ab.

d) División entera definida en `: dados a ∈ ` (dividendo) y b ∈ `, b ≠ 0 (divisor), llamamos
cociente (c) y resto (r) de la división entera a dos números naturales que cumplen:
i) a = bc + r y ii) r < b.

3) Ya sabes que en el conjunto de los números reales se define más de una operación (adición y
multiplicación, por ejemplo) y que esasoperaciones cumplen varias propiedades.
Considera la adición definida en \ e indica qué propiedades cumple.

Enunciaremos ahora algunas propiedades de las operaciones binarias. ¡Una operación binaria
puede, eventualmente, no cumplir ninguna de ellas!

Propiedades de las operaciones
Consideramos un conjunto A, A ≠ ∅, y ∗ una operación binaria definida en A.
Asociativa
La operación ∗ es asociativa ⇔ ∀ a ∈ A,∀ b ∈ A, ∀ c ∈ A, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
4) Investiga cuáles de las operaciones binarias de la actividad 2), cumplen esta propiedad.

Existencia del elemento neutro
Existe neutro para la operación ∗ ⇔ ∃ e ∈ A, ∀ a ∈ A, a ∗ e = e ∗ a = a
Observa que para que un elemento sea neutro de una operación, exigimos que lo sea a
derecha y a izquierda.

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5) Investiga cuáles de las operaciones binarias de la actividad 2), cumplen esta propiedad.

Existencia del elemento simétrico
La operación ∗ cumple la propiedad de existencia del elemento simétrico ⇔ ∀a ∈ A, ∃a' ∈ A,

a ∗ a' = a' ∗ a = e, siendo e el elemento neutro para la operación ∗.
Notación: a' se denomina simétrico de a y es la forma en que convendremos notar alsimétrico de a.
Observa que para que un elemento sea simétrico, exigimos que lo sea a derecha y a izquierda.
Como recordarás, para el caso de la adición de números reales, al simétrico de un número real
se lo denomina opuesto, y para el caso de la multiplicación, al simétrico de un número real (si
existe) se lo llama inverso.

Conmutativa
La operación ∗ es conmutativa ⇔ ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ A, a ∗ b = b ∗...