estructuras algebraicas discretas


Introducción

El propósito de esta monografía es proponer un punto de vista simple y breve estructuras algebraicas discretas, dichos conceptos nos servirán para entender de un modo simétrico y semántico, un mundo lleno de fenómenos naturales (que se comportan como sistemas) para así comprenderlos de un modo sencillo.
No se pretende que con esta monografía que el lectoraprenda los conceptos de manera intensiva, si no que comprenda la importancia de los mismos a los la hora de darle sentido a los distintos sistemas (sistemas lógicos) y, a la manera en que los mismos se comportan.





















Desarrollo












Grupos
Semigrupo:
Un semigrupo (M,*) está definido por un conjunto M y una operación * dicha operación esbinaria asociativa.
Para cualquier elemento del conjunto M, tenemos que para la resultante de la operación supongamos x*y (donde x, y ∈ M) también pertenecerá al conjunto M.
Si la operación * tiene la propiedad asociativa x*(y*z) = (x*y)*z para todos los elementos de M, entonces se dice que M tiene estructura de semigrupo para la operación *.
Ejemplo:
Sea M el conjunto de los númerosenteros (Z), y la operación * sea la suma (+). Repasemos ahora la definición: El conjunto de los números enteros y la suma cumple la propiedad asociativa (dados varios números, podemos sumarlos en cualquier orden), por lo tanto el conjunto de los números enteros y la operación suma tiene estructura de semigrupo.
Monoide:
Un monoide es un semigrupo (M,*) para el cual existe un e ∈ M tal que:
a * e= a = e * a , ∀ a ∈ M.
El elemento e ya mencionado es llamado elemento identidad de M.
Ejemplo:
El conjunto con un solo elemento M {x} con la operación definida x*x=x es un monoide donde el único elemento es el elemento identidad.


Homomorfismo e Isomorfismo
Sean F y T dos semigrupos .una función f: S→T es un homeomorfismo si la ecuación:(1)
Se cumple para todos los elementos a, b de S. Bajo estas condiciones se dice que f preserva la estructura de semigrupo. Por otro lado, un isomorfismo es una biyección f: S→T que satisface (1)
Grupos:
Un grupo es un conjunto monoide (G,*) no vacío G dotado de una operación
* que verifica las siguientes condiciones:

La operación * es asociativa , o sea, para todo x,y,z ∈ G(x*y)*z=x*(y*z).
Existe un elemento e ∈ G tal que para todo x ∈ G,
e * x = x * e = x
e se llama el elemento neutro de G.
Para todo x ∈ G, existe y ∈ G tal que:

x * y =y * x = e.
si además para todo x,y ∈ G,
x * y = y * x.

si tenemos en cuenta un elemento a ∈ G ,existe también un elemento a^-1 ∈ G tal que:
a *a^-1=e= a^-1*a
el elemento a^-1 es conocido como el inverso de a.
se dice que un grupo es abeliano si * es conmutativa.

Ejemplo:
El conjunto G{-1,1} con el producto usual es un grupo abeliano de orden dos.El elemento identidad es el 1 y cada elemento es su propio inverso.
Ejemplo 2:
(Z,+) es un grupo abeliano(aquí + es la suma usual en Z). El elemento identidad es el 0 y el inverso de un elemento a es –a.
Este grupo es llamado el grupo aditivo de los números enteros.
Subgrupos:
Sea G un grupo. Un conjunto H G se dice que es un subgrupo de G, si satisface las siguientespropiedades:
1.
2. Si
3. Si
Ejemplo:
Sea G un grupo y sea H={I.se puede ver fácilmente que H es un grupo abeliano, llamado grupo cíclico generado por .
Teorema de LaGrange
Si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G, entonces es un divisor de .
Demostración: si G es finito, entonces por el lema que nos dice que “hay correspondencia biyectiva entre cualesquiera dos clases laterales...