Estructuras algebraicas

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Objetivo:
Se darán a conocer denominaciones y criterios formales para los conjuntos y sus propiedades estudiados a lo largo del curso de álgebra; entre otros aspectos, se manejaran las operaciones binarias y sus propiedades dentro de una estructura algebraica.
Introducción.
Las estructuras algebraicas nacieron en la Matemática moderna como una herramienta propia de lasmatemáticas puras. Las estructuras algebraicas son en sí el estudio de los conceptos algebraicos pero de una forma muy general, de donde surge una cierta abstracción y es, hasta cierto punto, un proceso natural en los mecanismos de reflexión.
El Álgebra Clásica es una ciencia que estudia los números y las relaciones que se establecían entre ellos por medio de diferentes operaciones. El ÁlgebraAbstracta estudia relaciones entre elementos cualesquiera por medio de operaciones abstractas.
En el estudio de los conjuntos numéricos o entidades matemáticas se hacen operaciones como la suma, la resta, la multiplicación o la división y, se ha notado a lo largo del curso, que no todas las propiedades de las operaciones son aplicables a todos los conjuntos. Cuando un conjunto posee una o variasoperaciones (binarias) se habla entonces de un sistema algebraico que a su vez está dotado de una estructura (determinada por las propiedades de las operaciones).
Operación Binaria.
Una operación binaria es prácticamente aquella donde a dos (bi) elementos de un conjunto se les asocia un tercer elemento único del mismo conjunto.
Esta asignación se realiza de acuerdo a un criterio preestablecidoque define como se debe operar a estos dos elementos.
DEFINICIÓN:
Una operación binaria * en un conjunto S no vacío es una función de SxS en S. La imagen del par ordenado (a,b) bajo la operación * se representa con a*b.
Como ejemplo de un criterio para operar podemos poner a la suma en el conjunto de los números N (naturales) que nos dice que a dos elementos se aplica una operación representadapor + y se refiere a combinar (adicionar) dos números para que obtengamos uno tercero.
Tenemos muchos ejemplos de operaciones binarias como:
* La adición y la multiplicación en el conjunto de los números naturales.
* La sustracción en el conjunto de los números enteros.
* La división en el conjunto de los números complejos diferentes de cero.
* La adición y sustracción depolinomios.
* La adición y la multiplicación en el conjunto de las matrices cuadradas de orden n.
* La unión y la intersección de conjuntos, etc.

Acorde a la definición, podemos inventar ciertos conjuntos y reglas de operación o simplemente operaciones, para asignar un tercer valor al par operado. En vista que estamos haciendo un estudio general podemos representar a una operación concualquier símbolo como: *, ¿, @, ó $, en fin cualquier símbolo.
Ejemplo:
Vamos a tomar como conjunto a los Z (enteros) y hacer una operación que haga que a dos números los adicione de tal manera que se añadan el primer término tal cual y el segundo en una unidad menos, representémoslo con el símbolo ♫.
De esta manera podemos decir que 4♫3 es igual a 6. Del mismo modo diremos que:
3♫6=8
8♫3=10
7♫1=73♫-2=0
Hay casos en donde al ser S un conjunto finito, las operaciones están dadas por tablas ya que al ser un conjunto limitado resulta relativamente fácil (depende de cuantos elementos formen el conjunto) expresar todas las operaciones. Ejemplo:
Sea el conjunto {A,B,C,D} y la operación ♂ estableceremos las operaciones:
♂ | A | B | C | D |
A | A | C | B | B |
B | C | B | C | D |
C | D| C | A | A |
D | B | D | A | A |
Tabla I.
Y vemos que todos los elementos resultados de las operaciones pertenecen al conjunto.
Podemos decir entonces que cumple con una propiedad llamada cerradura que nos menciona que al par ordenado se le asocia un elemento del mismo conjunto (es cerrado).
DEFINICIÓN:
Cerradura: Sea * una operación binaria definida en un...