estructuras algebraicas

Estructura Algebraica:
Es una n-tupla (a1,a2,...,an), donde a1 es un conjunto dado no vacío, y {a2,...,an} un conjunto de operaciones aplicables a los elementos de dicho conjunto.

Grupo
Es un conjunto en el que se define una operación binaria (i.e. unmagma), que satisface ciertos axiomas detallados más abajo. La rama de la matemática que estudia los grupos se llama teoría de grupos.
Seauna estructura algebraica formada por un conjunto G, sobre cuyos elementos se ha definido una operación o ley de composición interna binaria denotada por " ". Se dice que la estructura (G; ) es un grupo con respecto a la operación si satisface las siguientes propiedades:
Asociatividad: para cualesquiera elementos del grupo no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras nose cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir, .
Existencia del elemento neutro o elemento identidad (comúnmente denotado como e, letra inicial de la palabra alemana einheit, que significa "unidad"): en todo grupo existe un elemento que al ser operado con cualquier otro, no lo modifica, (como el cero en la sumao el 1 en la multiplicación). Esdecir, . La unicidad del elemento neutro es fácilmente demostrable.
Existencia de elemento opuesto (o inverso): Todos los elementos del grupo tienen un elemento opuesto (o inverso), con el que al operarse dan por resultado el elemento neutro e. Es decir, . El elemento inverso de uno dado es único.
Algunos textos incluyen para los grupos la propiedad de la cerradura, pero generalmente se la obviaal ser propiedad de la operación binaria. Esta ley se la formula de la siguiente manera:
Cerradura: para cualesquiera dos elementos del grupo G operados bajo " ", el resultado siempre pertenece al mismo grupo G. Es decir, . La propiedad de cerradura del grupo se expresa generalmente como .
Notación
La notación multiplicativa.
Operación: *, llamada producto. También escrita como " "
Elementoneutro: 1.
Elemento inverso: x − 1.
Como en la multiplicación normal, el signo puede en muchas ocasiones no ser escrito, es decir .
La notación aditiva.
Operación: +, llamada suma.
Elemento neutro: 0.
Elemento opuesto de un elemento x del grupo: -x.
Grupo Abeliano
Se denomina grupo conmutativo o abeliano a aquel grupo que verifica la Propiedad conmutativa, es decir . También llamado grupoconmutativo, es un grupo (que se denota con (G, *)), tal que: a * b = b * a para todos los elementos a, b ∈ G. Es decir, el orden de los factores no altera el producto. Tales grupos son en general más fáciles de entender.
Los grupos que no son conmutativos se denominan no abelianos (también no conmutativos, con menos frecuencia).
Notación
Hay dos notaciones principales para los grupos abelianos:aditiva y multiplicativa.
La notación multiplicativa no es otra que la notación usual para los grupos, mientras que la aditiva es la notación usual para módulos. Cuando se trabaja sólo con grupos abelianos, usualmente se usa la notación aditiva.
Propiedades
Si n es un número natural y x un elemento de un grupo abeliano G (con notación aditiva), se puede definir nx = x + x + ... + x (nsumandos), y (−n)x = −(nx), con lo que G se vuelve un módulo sobre el anillo Z de los enteros. De hecho, los módulos sobre Z no son otros que los grupos abelianos.
Si f, g : G → H son dos homomorfismos entre grupos abelianos, su suma (definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x)) es también un homomorfismo; esto no se cumple en general para grupos no abelianos. Con esta operación, el conjunto de homomorfismosentre G y H se vuelve, entonces, un grupo abeliano en sí mismo.
Anillo
Es una estructura algebraica formada por un conjunto y dosoperaciones que están relacionadas entre sí mediante la propiedad distributiva, de manera que generalizan las nociones de número, especialmente en el sentido de su "operabilidad".
Anillo Unitario
Es aquel que posee un elemento unitario y además, éste es distinto del...