Estructuras algebraicas

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
1. Operaciones Binarias y sus Propiedades
Operación Binaria
Operaciones como la suma, resta, multiplicación o división de números son consideradas operaciones binarias, ya que asocian un par de números con un resultado. En general una operación binaria tiene 2 caracteristicas escenciales:
♥Se aplica a un par de elementos con una naturaleza determinada.
♥Asocia adicho con otro único elemento de la misma naturaleza determinada, la asociación se realiza por media de un criterio definido.
En forma general, una operacon binaria definida en un conjunto S no vacío es una función S x S que relaciona un par de elementos (a,b) a,b S con una imagen c
Propiedades de las Operaciones Binarias
Cuando un conjunto tiene definida unaoperación binaria se puede formar unsistema algebraico que posee una estructura definida, la cual esta ligada a las diferentes propiedades que posee la operación binaria.
Os niveles y diferentes tipos de estructuras algebraicas están sujetos a la naturaleza de las propiedades que se cumplen para una operación en un conjunto dado. Así las estructuras de grupo, anillo y campo se diferencian por el numero de operaciones y laspropiedades que estas cumplen con un conjunto numérico dado.
La primera de estas propiedades es inherente al concepto de operación binaria: a cada par de elementos de cierta naturaleza se le asigna un resultado de esa misma naturaleza.
Cerradura
Si el resultado de aplicar una operación binaria esta definido en un conjunto , entonces se dice que es cerrado con respecto a dicha operación binaria; esdecir:


Asociatividad
Al momento de definir una operación binaria se precisó que solo podía realizarse con dos elementos de un solo conjunto; es decir al tratar de operar 3 elementos, primero se debe de realizar la operación con 2 de ellos, y después de trabajar con el resultado el tercer elemento.
Este proceso de asociar elementos para operarlos se define como propiedad asociativa.
Para unaoperación binaria definida como el conjunto, la asociación de elementos específica que:

Ejemplo: en la suma de los números enteros se tiene la asociación cumplida:

Que a su vez es extensión de la suma en los números naturales.
Elementos Identicos


Elementos Inversos
Los elementos inversos se relacionan directamente con el elemento neutro. En este caso, si el resultado de laoperación binaria es el elemento neutro, entonces los dos elementos que intervinieron en la operación son inversos unos del otro.
Al definir la operación binaria dentro del conjunto , y tomando en cuenta la existencia del elemento neutro se dice que:
♥
♥
♥
Por lo tanto, si el inverso por la izquierda y por la derecha es el mismo, entonces es un elemento inverso único para . Además un conjunto tendrápara cada elemento su correspondiente inverso es una operación binaria.
Conmutatividad
Cuando una operación binaria permite que el orden de los elementos no influya en el resultado que se obtendrá, se dice que la operaciónpermite la conmutación.
Para una operación binaria definida en el conjunto, la conmutación específica que:


2.Definición de Grupo y sus Propiedades
Este se define a unconjunto que posee una operación binaria y se cumplen 3 prioridades: asociación, elemento neutro y elemento inverso.
Sea un conjunto no vacío con una operación binaria definida.
es un grupo si cumple:



Para cualquier .
Subgrupos
De un grupo G se pueden tomar subconjuntos, que posiblemente puedan formar un grupo tomando la operación definida para G.
Sea un grupo. Un subconjunto Hde G es un subgrupo si el mismo es un grupo para la operación es decir, es un grupo.
Para poder identificar si H es un subgrupo para la operación basta con verificar si se cumple que:



3.Grupos Abelianos, Estructuras de anillo y de campo.
Grupo Abeliano
Se denomina grupo conmutativo o abeliano a aquel grupo que verifica la Propiedad conmutativa, es decir :
a * b = b *a ∀ a, b ∈ G...