Estructuras Algebraicas

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

1. El sistema (Z,+,•) que estructura algebraica forma
Cerradura (+)
Sea a,b Є Z; (+)
a+b Є Z 5+3=8
Por lo tanto el conjunto Z es cerrado bajo laoperación suma.
Asociativa (+)
Sea a,b,c Є Z; (+)
a+(b+c)=(a+b)+c La operación suma es asociativa en el conjunto Z.
1+(2+3)=(1+2)+3
6=6
Conmutativa (+)
Sea a,b Є Z; (+)
a+b=b+a Laoperación (+) es conmutativa en el conjunto Z
5+6=6+5
11=11
Elemento idéntico (+)
Sea a Є Z;µ elemento idéntico
a+ µ=a= µ+a
a+ µ=a µ Є Z existe elemento idéntico de laforma µ=0 en el conjunto Z bajo (+)
µ=a-a
µ=0
0+a=a
µ=0 ∈ Z
Elemento inverso (+)
Sea a Є Z; µ^elemento inverso
a+ µ^= µ= µ^+a
a+ µ^= µ
a+ µ^=0 µ^+a= µ µ^ Є Z
µ^=-aa+a=0
Existe elemento inverso de la forma µ^=-a Є Z en el conjunto Z bajo la operación (+)
Cerradura (*)
Sea a,b Є Z;
a*b Є Z
5*3=15 El conjunto Z es cerrado bajo laoperación (*)
Asociativa (*)
Sea a,b,c Є Z; (*)
a*(b*c)=(a*b)*c La operación (*) es asociativa en el conjunto Z
5*(4*1)=(5*4)*1
20=20
Distributiva (Z,+,*)
Sea a,b,c Є Z
-distributiva por laizquierda
a*(b+c) =(a*b)+(a+c)
ab+ac=ab+ac
-distributiva por la derecha
(b+c)*a=(b*a)+(c*a)
ba+ca=ba+ca
Se cumple la 2° operación sobre la 1°
Conmutativa (*)
Sea a,b Є Z
a*b=b*a5*3=3*5
15=15 La operación (*) es conmutativa en el conjunto Z
Elemento idéntico (*)
Sea a Є Z;µ elemento idéntico
a* µ=a= µ*a
a* µ=a µ*a=a
µ=a/a 1*a=a µ=1 Є Z
µ=1 a=aExiste elemento idéntico de la forma µ=1 Є Z en el conjunto Z bajo la operación (*)
Divisores propios de cero
Sea a,b∈Z; µ=1elemento idéntico
a*b= µ ≠ a,b≠ µ
Lo anterior no secumple para el conjunto Z por lo que no existen divisores propios de cero.
En conclusión el conjunto Z es un DOMINIO ENTERO
2.-El sistema (A,+,•) donde A es el conjunto de enteros pares, que...