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FUNCIONES HIPERBÓLICAS

INTEGRANTES DEL GRUPO: DIEGO VINTIMILLA BYRON LONDA DIEGO PATIÑO JUAN CARLOS NIETO MIGUEL TORRES PROFESOR: ING. HERNÁN PESANTEZ. CURSO: ANALISIS MATEMÁTICO 2

INTRODUCCIÓN:
En el siguiente tema aprenderemos que las funciones hiperbólicas se derivan de una hipérbola unitaria. Conociendo las funciones logarítmicas y exponenciales, entenderemos como se dan las fórmulasde las funciones. Con el debido conocimiento de los temas anteriores seremos capases de entender correctamente los conceptos y demostraciones de las funciones hiperbólicas, así como también realizar el cálculo de las derivadas de dichas funciones e integrales respectivas. En el desarrollo del tema tratado se podrán encontrar ejercicios y ejemplos de dichas funciones con sus respectivas gráficas.CONTENIDO: FUNCIONES HIPERBOLICAS:
1. Definición de la función seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante hiperbólica. 2. Funciones hiperbólicas: gráficas y sus respectivos dominios y recorridos. 3. Identidades hiperbólicas. 4. Derivadas de las funciones hiperbólicas. 5. Integrales de funciones hiperbólicas.

OBJETIVO:
En el estudio de este tema hemos fijado los siguientesobjetivos: a. b. c. d. Obtención de las fórmulas de seno, coseno y tangente hiperbólica. Entender la relación de estas funciones con la hipérbola unitaria. Establecer los dominios, recorridos y las gráficas de cada función. Mediante procesos de derivación ya estudiados, establecer las derivadas de las funciones hiperbólicas. e. Conocer las identidades de las funciones hiperbólicas.

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FUNCIONESHIPERBOLICAS
Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas ordinarias o funciones circulares. Ciertas combinaciones de y aparecen con frecuencia en algunas aplicaciones de matemáticas, especialmente en ingeniería y física. Estas combinaciones se denominan funciones hiperbólicas, de las cuales las dos más importantes son el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico Ahorademostramos que los valores de las funciones y tienen la mima relación con la hipérbola unitaria que el seno y el coseno con la circunferencia unitaria . Este hecho justifica el nombre de seno y coseno hiperbólicos, exactamente como el seno y el coseno reciben el nombre de funciones circulares. INTERPRETACIÓN Si en el uso de las funciones circulares el argumento más frecuentemente usado es el“ángulo central AOC = α”, para las funciones hiperbólicas no podemos usar este tipo de argumento porque le faltaría la congruencia geométrica que sí posee en las funciones trigonométricas. Sin embargo, se podría haber tomado como argumento de las funciones trigonométricas un valor “x”, correspondiente al área del sector circular con ángulo central FOC= “2α”, puesto que de la circunferencia trigonométricase tiene que:

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Llevando esta idea a la siguiente figura que obtenemos desde la rama derecha de la hipérbola equilátera , se obtendría:

Si llamamos: siguiente relación:

se tiene la

Utilizamos proporciones para poder efectuar sustituciones después.

Además el punto B, de coordenadas hipérbola,

a la

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Si ahora calculamos el área X por métodos de cálculo integral, se tiene:Ahora resolvemos el integral utilizando sustitución trigonométrica.

Ahora calculamos el integral de

Ahora realizamos integral por partes

Por lo tanto

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Entonces por lo tanto

Ahora sustituimos en …2

Volvemos a reemplazar por la sustitución trigonométrica.

Reemplazamos en …..(*)

También tenemos

Por lo tanto

Aplicando las propiedades de los logaritmos yaestudiados

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Ahora cambiamos s por c

Por lo tanto

Entonces el valor de t será

De lo anterior se tiene que las fórmulas deducidas para las distancias s, c, g son, precisamente, las definiciones formales de las funciones hiperbólicas.

DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS:
Las funciones seno y coseno hiperbólico, denotadas por sinh y cosh respectivamente están definidas como...