estructuras

Estática

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Momentos de Inercia

Objetivos
• Método para determinar el momento de inercia de un
área
• Introducor el producto de inercia y cómo determinar el
máx y mín momentos de inercia para un área
• Momento de inertia de una distribución de masas

Índice
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

Definición de Momentos de Inercia para Áreas
Teorema del eje-paralelo
Radio de giro deun área
Momentos of Inercia para Áreas compuestas
Producto de Inercia para un Área
Momento de Inercia para un Área
Círculo de Mohr para Momentos de Inercia
Momentos de inercia de una distribución de masas

10.1 Momentos de Inercia para Áreas
•
•
•

El Centroide de un área se determina por el primer
momento de un área respecto a un eje
El segundo momento de un área respecto a un ejese
conoce como momento de inercia
El Momento de Inercia se origina siempre que uno
relaciona la fuerza normal o la presión (fuerza por
unidad de área con el momento)

10.1 Momentos de Inercia para Áreas
Momento de Inercia
• Consideremos el área A en el plano x-y
• Por definición, el momento de inercia del elemento de
área dA respecto a los ejes x, y resulta

dI x =y 2 dA dI y =x 2 dA•

Para el área completa, los
momentos de inercia son

I x =∫ y 2 dA
I y =∫ x 2 dA

10.1 Momentos de Inercia para Áreas
Momento de Inercia
• También podemos tomar el segundo momento de dA
respecto al “polo” O o eje z
• Esto se conoce como el momento polar de inercia
2

dJ O =r dA

•

siendo r la distancia perpendicular desde el polo (eje
z) al elemento dA
El momento polarde inercia para todo el área resulta
2

J O =∫ r dA =I x +I y

10.2 Teorema del eje paralelo para un área
•

Conocido el momento de inercia de un área respecto
a un eje que pasa por su centroide, determine el
momento de inercia respecto a un eje peralelo.
• Consideamos el momento de inercia del área
• Un elemento diferencial dA se localiza
a una distancia arbitraria y’
respecto aleje x’ del centroide

10.2 Teorema del eje paralelo para un área
•
•

La distancia fija entre el eje x paralelo a x’ es dy
El momento de inercia de dA respecto al eje x

•

Para el área completa

dI x =( y'+d y )2 dA

I x=∫ ( y'+d y ) 2 dA

∫ y'
•

2

dA +2d y ∫

2
y'dA +d y

∫ dA

La primera integral representa el momento de inercia
del área respecto al ejecentroidal

10.3 Radio de Giro de un Área
•

•

•

El radio de giro de un área plama tiene unidades de
longitud y es una cantidad que se usa para diseñar
columnas
Se define como

√

√

√

Ix
Iy
JO
k x=
k y=
k z=
A
A
A

Estas expresiones son a la expresión del momento de
iniercia de un elemento de área respecto a un eje

I x =k 2 A dI x =y 2 dA
x

Ejemplo
Determine elmomento de inercia para el área rectangular
respecto a: (a) el eje x centroidal, (b) el eje xb que pasa a
través de la base del rectángulo, y (c) el polo o eje z’
perpendicular al plano x’-y’ plane y que pasa por el
centroide C.

Solución
Parte (a)
Elemento diferencial, distancia y’ desde el eje x’.
Como dA = b dy’,

1 3
̄ x=∫ y' dA=∫ y' (bdy' )=∫ y' dy= bh
I
12
2

2

2Parte (b)
Aplicando el teorema del eje paralelo,
2

̄ x +Ad 2 = 1 bh 3 +bh h = 1 bh 3
Ix =I
12
2
3
b

()

Solución
Parte (c)
Para el momento polar de inercia respecto al punto C,

1
̄ y' = hb 3
I
12
1
J C = ̄ x + ̄ y' = bh( h2 +b 2 )
I I
12

10.4 Momentos de Inercia para áreas
compuestas
•

Un área compuesta consiste de una serie de partes
simples conectadas
• ElMomento de inercia del área compuesta = suma
algebracia de los momentos de inercia de todas sus
partes
Procedimiento de análisis
Partes
• Dividir el área en partes y localizar el centroide de
cada parte respecto al eje de referencia dadoi
Teorema del eje paralelo
• Determinar el momento de inercia de cada parte
respecto a sus ejes centroidales

10.4 Momentos de Inercia para áreas...