estructuras

3.2. MÉTODO DE FLEXIBILIDADES APLICADO A MARCOS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS
1.- Calcular las reacciones correspondientes a las cargas indicadas. E e I son constantes.

SOLUCIÓN.
Verificación del grado de indeterminación.
Para el marco mostrado, el número de nodos es j=3(A;B;C) y no hay condiciones impuestas por la construcción, es decir c=0.
La estructura está compuesta por la cantidadde m=2(AB;CB) miembros. Tanto en el pasador (apoyo articulado) A como en el B hay dos incógnitas de reacción, una horizontal y una vertical, por lo que r=4(R_AX;R_AY;R_CX;R_CY ).
como 3m+r>3j+c ya que 3(2)+4>3(3)+0⇒10>9 el marco es estáticamente indeterminado con un grado de 10-9=1.
Elección de la fuerza redundante y planteamiento de la estructura primaria.
Se optará porque R_CX sea la fuerzaredundante. En consecuencia, en la estructura primaria, el apoyo articulado (pasador) en C se reemplaza por un apoyo simple (rodillo u oscilador), puesto que éste último soporte no restringirá C en la dirección horizontal ya que se está eliminando la reacción redundante elegida. Esta nueva estructura (MIF 1) es isostática, estable (de ningún modo debe ser inestable) y está sometida a las mismascargas que la estáticamente indeterminada (hiperestática).
Principio de superposición.
El marco real u original (MR) es equivalente a la suma de una serie de estructuras isostáticas conformada por la estructura primaria y otro número de estructuras igual al número de redundantes elegidas. Entonces, el marco hiperestático de este ejemplo es igual a MIF 1 más otro marco que aquí hemos etiquetadocomo MIF II.
La estructura primaria y su subsecuente (MIF II) deben tener entre sí la misma geometría e idénticas condiciones de apoyo con la diferencia de que la segunda en lugar de estar sometida a las cargas externas originales, únicamente soporta a la redundante elegida (R_CX) de sentido arbitrario (en este caso se propone hacia la izquierda). De acuerdo a lo anterior, el marco real uoriginal(MR) es igual a la suma de las siguientes estructuras:
MR=MIF 1+MIF II
Estructura primaria⟹MIF 1(Estructura M)

Este marco (MIF 1), contrariamente al marco original o real, experimenta un desplazamiento horizontal en el punto C (〖∆_HC〗_MIF1=d_1 ).

Estructura liberada con fuerza redundante R_CX aplicada⟹MIF II

En éste marco, C se desplaza horizontalmente una cantidad de〖∆_HC〗_MIFII=R_CX (f_11 )
Planteamiento de la ecuación de compatibilidad geométrica.
Para obtener una ecuación adicional que haga posible la solución del problema hacemos uso del principio de superposición formulado anteriormente y tomamos en cuenta la compatibilidad del desplazamiento horizontal en el soporte articulado C. Por lo tanto, la ecuación de compatibilidad geométrica para el desplazamientohorizontal en C es
〖∆_HC〗_MIF1+〖∆_HC〗_MIFII=〖∆_HC〗_MR---(1)
El lenguaje algebraico anterior se traduce al lenguaje cotidiano como: el desplazamiento horizontal en el punto C de la estructura MIF 1 más el desplazamiento horizontal en el punto C de la estructura MIF II es igual al desplazamiento horizontal en el punto C del marco real MR.
Obsérvese que en el punto C del marco real (MR) no se producedesplazamiento horizontal alguno ya que la reacción en esa dirección del soporte articulado ahí situado lo impide, así que 〖∆_HC〗_MR es nulo. Efectuando las sustituciones correspondientes, la ecuación (1) puede escribirse del siguiente modo
d_1+f_11 R_CX=0---(2)

Si a la estructura liberada le aplicamos una unidad de carga horizontal en el punto C correspondiente a la fuerza redundante, elcoeficiente de flexibilidad puede obtenerse directamente al calcular el desplazamiento horizontal en ese mismo punto por lo que 〖∆_HC〗_MIF2=f_11.
Estructura liberada con fuerza horizontal unitaria aplicada en C⟹MIF 2(Estructura m)

Cálculo de los desplazamientos necesarios para el sistema de ecuaciones de compatibilidad.
En resumen, en los marcos MIF 1 y MIF 2 es necesario determinar el...