Estudiante en lic. en contaduria publica

XI. LA HIPÉRBOLA
11.1. LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO
Definición
La hipérbola es el lugar geométrico descrito por un punto “ P ” que se mueve en el
plano de tal modo que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos
fijos del plano F ' y F (llamados focos), es siempre una cantidad constante 2a .
Esto es PF '− PF = 2a

NOTACIONES
La hipérbola consta de dos ramasdiferentes y de longitud infinita, en donde:
● AA' = 2a , eje focal o eje transverso (o eje real).
● FF ' = 2c , distancia focal.
● BB ' = 2b , eje conjugado (o eje imaginario).
● El punto medio de FF ' es el centro C de la hipérbola.
● CA' = CA = a ; CB ' = CB = b ; CF ' = CF = c .
● Para que haya hipérbola es necesario que c > a .
● La cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al ejefocal se llama lado recto
( LR ) o ancho focal.
● Las diagonales del rectángulo prolongadas se llaman asíntotas de la hipérbola.
● La relación entre a, b y c , por el teorema de Pitágoras es c 2 = a 2 + b 2 .
● Si a = b , la hipérbola se llama EQUILÁTERA.
c
● La relación e = es la excentricidad de la hipérbola.
a

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11.2. CONSTRUCCIÓN DE UNA HIPÉRBOLA CON REGLA Y COMPÁS
Paraconstruir una hipérbola con regla y compás, suponemos conocidos los focos
F , F ' , la cantidad constante 2a y el procedimiento es como sigue:
a) Se obtiene el punto medio de F , F ' que es el centro “ C ” de la hipérbola.
b) Por el centro C se traza la perpendicular a F , F ' (que es el eje conjugado).
c) A partir del centro C , se señalan los vértices A, A' que están a la distancia “ a ” de C osea que CA' = CA = a .
d) Se construye el rectángulo de los ejes transverso y conjugado y se trazan las
diagonales que son las asíntotas de la hipérbola.
e) Se marcan puntos cualesquiera a la derecha de F y a la izquierda de F ' , por ejemplo
los simétricos P1 , P1 ' , P2 , P2 ' , P3 , P3 ' , P4 , P4 ' , P5 , P5 ' ,…
f) Con centro en los focos y radios A' P1 , AP1 , se obtienen lasintersecciones 1 que son
puntos de la hipérbola ya que 1F '−1F = AA' = 2a , repitiendo esto con los radios
A' P2 , AP2 , A' P3 , AP3 , A' P4 , AP4 , A' P5 , AP5 , se obtienen las intersecciones 2,3,4,5 , que
uniéndolos con trazo continuo, se obtiene la curva.

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11.3. FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA
CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE
ALGUNO DE LOS EJES COORDENADOSConsideremos una hipérbola con “ a ” y “ c ” conocidos, ubicada en un sistema de
coordenadas cartesianas rectangulares, cuyo centro coincide con el origen de coordenadas
C (0,0 ) , sus focos están sobre el eje “ x ” cuyas coordenadas son F ' (− c,0 ) y F (c,0 ) y sea
P ( x, y ) un punto cualquiera de la hipérbola (que puede estar sobre la rama izquierda o sobre
la derecha sin que esto altere ladefinición de hipérbola) ubicado sobre la rama derecha
como se muestra en la figura y que de acuerdo con la definición este punto P estará situado
en la hipérbola dada si y solo si PF '− PF = 2a , expresándola analíticamente:

(x + c )2 + y 2 ; PF = (x − c )2 + y 2
( x + c )2 + y 2 − ( x − c ) 2 + y 2 = 2 a

si PF ' =

Aislando el primer radical en el primer
miembro, elevando al cuadrado,haciendo
operaciones y reduciendo términos
semejantes se tiene:

( x + c )2 + y 2 = 2 a + ( x − c ) 2 + y 2
( x + c )2 + y 2 = 4 a 2 + 4 a ( x − c )2 + y 2 + ( x − c )2 + y 2

x 2 + 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 + 4a

( x − c )2 + y 2

+ x 2 − 2cx + c 2 + y 2

( x − c )2 + y 2
( x − c )2 + y 2

4cx − 4a 2 = 4a

cx − a 2 = a
elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes:

(cx − a )22

[

= a 2 (x − c ) + y 2
2

]

c 2 x 2 − 2a 2 cx + a 4 = a 2 x 2 − 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2
c 2 x 2 − a 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2c 2 − a 4

(

)

(

factorizando: c 2 − a 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 c 2 − a 2

)

De la sección 11.1, la relación entre a, b y c por el teorema de Pitágoras es
c 2 = a 2 + b 2 , despejando b 2 = c 2 − a 2 y sustituyendo en la expresión...