Estudiante Ingenieria

Primera Prueba de Métodos Numéricos. Versión 1.
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Numero de Matricula: _________________________________ Rut:________________________

INSTRUCCIONES

1. Complete los datos personales solicitados en la prueba. 2. Duración: 1 hora y 30 minutos. 3. En cada pregunta, parte o apartado de la prueba se indica lapuntuación máxima que le corresponde. La prueba tiene un total de 6,0 puntos. 4. Solo se aceptan consultas de redacción durante el desarrollo de la evaluación. 5. Sea ordenado y justifique sus afirmaciones. 6. Preguntas incompletas serán evaluadas con menor puntaje.

Pregunta 1a

Pregunta 1b

Pregunta 2

Pregunta 3a

Pregunta 3b

Pregunta 3c

NOTA

Profesor: Miguel Ángel Muñoz jara.Curso: Métodos Numéricos.

-1–

Primera Solemne de Métodos Numéricos. Nombre:_________________________________________________________________________ 1. Considere x A = 1.00011 redondeado al número de dígitos que se señala. Considere las expresiones matemáticamente equivalentes u = ( x − 1)( x − 2) y v = x( x − 3) + 2 . a. Usando el Teorema del Valor Medio, estudie la propagación del errorpara u y v . (1.0 punto) b. Determine buenas cotas para Rel (u A ) y para Rel (v A ) . (1.0 punto) 2. Considere la ecuación no lineal f ( x ) = 0 , donde f ( x) =
x . Claramente, x = 0 es la única 1 + x2 solución. Use el método iterativo de Newton comenzando con x0 = 0.75 y estudie la convergencia de la sucesión de iterados que se produce en este caso ¿converge a la solución de la ecuación?Explique lo que ocurre en este caso. (1.5 puntos)

3. Considere la ecuación f ( x ) = 0 , donde f ( x ) = e x ( x3 − 5 x 2 + 3 x) − 7 . Se sabe que esta ecuación posee una raíz α cerca de 4.3 . a. Use el Método de Newton para obtener una aproximación para α con una precisión de ε = 10−10 , utilizando como criterio de parada f ( x n ) < ε , y como punto inicial a x0 = 5.5 . Justifique teóricamente laconvergencia del Método de Newton en este caso. (1.0 punto)

b. Considere el Método iterativo siguiente

x n +1 = x n −

2 f (xn ) f ' (xn ) 2( f ' ( x n )) − f ( x n ) f ' ' ( x n )
2

Use este método para obtener una aproximación a la raíz α de la ecuación anterior con una precisión de ε = 10−8 , utilizando como criterio de parada f ( x n ) < ε , y como punto inicial a

x0 = 5.5 . (1.0punto)
c. ¿Cuál de ellos converge más rápido? (0.5 puntos)

Profesor: Miguel Ángel Muñoz jara. Curso: Métodos Numéricos.

-2–

PAUTA
1. Considere x A = 1.00011 redondeado al número de dígitos que se señala. Considere las expresiones matemáticamente equivalentes u = ( x − 1)( x − 2 ) y v = x( x − 3) + 2 . a. Usando el Teorema del Valor Medio, estudie la propagación del error para u y v .Solución Sea xT el valor exacto y x A una aproximación de xT . Definamos f ( x ) = ( x − 1)( x − 2) , así f ' ( x ) = 2 x − 3 , luego:

f ( xT ) − f ( x A ) = f ' (c ) xT − x A con c entre xT y x A .
Si x A ≈ xT entonces

f ( xT ) − f ( x A ) ≈ f ' ( x A ) xT − x A = 0.099978 ⋅ E ( x A ) ≤ 4.9989 ⋅10 −5
Como

x A = 1.00011
−6 +1+1

esta
−4

redondeado

a

6

dígitos,entonces

se

tiene

que

E ( x A ) ≤ 0.5 ⋅ 10

= 0.5 ⋅ 10 .

Definamos g ( x ) = x( x − 3) + 2 , de donde se tiene que g ' ( x ) = 2 x − 3 . Luego

g ( xT ) − g ( x A ) ≈ g ' ( x A ) xT − x A = 0.99978 E A ( x A ) ≤ 0.99978 ⋅ 0.5 ⋅ 10 − 4 = 4.9989 ⋅ 10 −5 b. Determine buenas cotas para Rel (u A ) y para Rel (v A )

Solución.
Rel (u A ) =

uT − u A uT

≤

4.9989 ⋅ 10 −5 xT − 1 xT− 2

Por otro lado sabemos que E ( x A ) ≤ 0.5 ⋅ 10 −6+1+1 = 0.5 ⋅ 10 −4 por lo tanto − 0.5 ⋅ 10 −4 + 1.00011 ≤ xT ≤ 0.5 ⋅ 10 −4 + 1.00011 ⇒ 0.00006 ≤ xT − 1 ≤ 0.00016 ∧ − 0.99994 ≤ xT − 2 ≤ −0.99984 De donde se deduce que
Profesor: Miguel Ángel Muñoz jara. Curso: Métodos Numéricos. -3–

1 1 ≤ ≤ 16666.67 xT − 1 0.00006
Por lo tanto

∧

1 1 ≤ ≤ 1.0001600256 xT − 2 0.99984

(u A ) =...