Estudiante Ingenieria
Páginas: 17 (4160 palabras)
Publicado: 27 de noviembre de 2012
ALGEBRA
Matriz
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
Dimensión de una matriz
El número de filas y columnas de una matriz sedenomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Si la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ...
El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por A mxn o (a ij ), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por a ij .
Matrices iguales
Dos matricesson iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.
Ing. Narciso Beyrut Ruiz
14/09/2012
-1-
ALGEBRA
Clases de matrices
Matriz fila Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna La matriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangular La matriz rectangular tiene distinto número de filas que decolumnas, siendo su dimensión mxn.
Matriz cuadrada La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma a ii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
Matriz nula En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Ing. Narciso Beyrut Ruiz
14/09/2012
-2-
ALGEBRA
Matriz triangular superiorEn una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferior En una matriz triangular inferior los diagonal principal son ceros.
elementos
situados por
encima de
la
Matriz diagonal En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
Matriz escalarmatriz escalar
Una
es
una
matriz
diagonal
en
la
que
los
elementos
de
la
diagonal principal son iguales.
Matriz identidad o unidad Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Ing. Narciso Beyrut Ruiz
14/09/2012
-3-
ALGEBRA
Matriz traspuesta Dada una matriz A, se llama matriztraspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A (A + B)t = At + Bt (α ·A)t = α· At (A · B)t = Bt · At
Matriz regular Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singular Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz idempotente
Una matriz, A, es idempotente si: A2 = A.
Matriz involutiva
Unamatriz, A, es involutiva si: A2 = I.
Matriz simétrica
Ing. Narciso Beyrut Ruiz
14/09/2012
-4-
ALGEBRA
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una verifica:
es
una
matriz
cuadrada
que
A = -At.
Matriz ortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que: A·At= I.
Operaciones con matrices
Suma de matrices
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a ij ) y B=(b ij ), se define la matriz suma como: A+B=(a ij +b ij ).
La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.
Ing. Narciso Beyrut Ruiz
14/09/2012
-5-
ALGEBRA
Propiedades de la suma de matrices
Interna:
La suma dedos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro:
A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto:
A + ( A) = O −
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
Conmutativa: A + B = B + A
Producto de un escalar por una matriz...
Matriz
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
Dimensión de una matriz
El número de filas y columnas de una matriz sedenomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Si la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ...
El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por A mxn o (a ij ), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por a ij .
Matrices iguales
Dos matricesson iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.
Ing. Narciso Beyrut Ruiz
14/09/2012
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ALGEBRA
Clases de matrices
Matriz fila Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna La matriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangular La matriz rectangular tiene distinto número de filas que decolumnas, siendo su dimensión mxn.
Matriz cuadrada La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma a ii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
Matriz nula En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Ing. Narciso Beyrut Ruiz
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Matriz triangular superiorEn una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferior En una matriz triangular inferior los diagonal principal son ceros.
elementos
situados por
encima de
la
Matriz diagonal En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
Matriz escalarmatriz escalar
Una
es
una
matriz
diagonal
en
la
que
los
elementos
de
la
diagonal principal son iguales.
Matriz identidad o unidad Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Ing. Narciso Beyrut Ruiz
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ALGEBRA
Matriz traspuesta Dada una matriz A, se llama matriztraspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A (A + B)t = At + Bt (α ·A)t = α· At (A · B)t = Bt · At
Matriz regular Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singular Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz idempotente
Una matriz, A, es idempotente si: A2 = A.
Matriz involutiva
Unamatriz, A, es involutiva si: A2 = I.
Matriz simétrica
Ing. Narciso Beyrut Ruiz
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ALGEBRA
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una verifica:
es
una
matriz
cuadrada
que
A = -At.
Matriz ortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que: A·At= I.
Operaciones con matrices
Suma de matrices
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a ij ) y B=(b ij ), se define la matriz suma como: A+B=(a ij +b ij ).
La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.
Ing. Narciso Beyrut Ruiz
14/09/2012
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ALGEBRA
Propiedades de la suma de matrices
Interna:
La suma dedos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro:
A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto:
A + ( A) = O −
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
Conmutativa: A + B = B + A
Producto de un escalar por una matriz...
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