Estudiante ingeniería

Joaquín Enrique Gómez López.
Ing. Mecatrónica.
Cálculo Vectorial.

Aplicaciones de las funciones vectoriales.

Introducción.

Para entender lo que es una función vectorial es necesario conocer dos conceptos de “función” hablando matemáticamente y “vector”.
Una función es una expresión algebraica que al introducir uno o varios valores, regresa un único valor.
Un vector es una expresiónmatemática que tiene magnitud y dirección, hecho por el cual se puede descomponer.
Una función vectorial tiene la característica de que recibe números reales y tiene como salida un conjunto de vectores. Estas pueden ser de “n” dimensiones, pero regularmente se trabaja sobre dos y tres dimensiones.
Las funciones vectoriales de dos dimensiones tienen dos “funciones componentes” las cuales sonfunciones de valores reales. A su vez, las funciones de tres dimensiones tienen tres funciones componentes.
Estas funciones, son indispensables para el trabajo con curvas y superficies en el espacio, así como el movimiento de los objetos. También, existen los llamados “campos vectoriales”, elementos algebraicos más complejos que requieren de las funciones vectoriales para su comprensión.
Por suscaracterísticas, las funciones vectoriales tienen un amplio campo de aplicación, por ejemplo: la descripción de la posición, velocidad y la aceleración de una partícula, la demostración de las leyes de Kepler (orbitas), el trazado de trayectorias, predicción del impacto de temblores, medición de campos gravitatorios y electromagnéticos, entre otras.

Desarrollo.

Aplicación a las curvas,tangencia.
Al dar valores a una función vectorial, esta recorre un conjunto de puntos llamados gráfica de función. Si la función es de dos o tres dimensiones, puede ser graficada. Entonces, la función puede ser utilizada para conocer ciertas características geométricas de la gráfica, por ejemplo, la tangencia.
Así, se puede demostrar la formación de una circunferencia, en la cual, se tiene una infinidadde vectores de igual longitud y provenientes de un mismo punto. Los vectores perpendiculares formarán una circunferencia, y estos serán vectores tangentes a ella.
De igual manera, se puede demostrar la reflexión de la hipérbola y de la elipse.

Aplicación al movimiento curvilíneo.
Cuando una partícula se mueves en un espacio ya sea de dos o tres dimensiones, y su posición esté dado por unvector en función del tiempo, el camino que la partícula recorre, es igual a la gráfica de esta función de t.
Esta función es llamada función posición del movimiento, y nos dice dónde se encuentra la partícula en un momento específico (valor de t).
Igualmente, su derivada es la función velocidad, dado que la derivada es la pendiente en un punto tangente a la gráfica, es una tasa de cambio, en estecaso, la tasa de cambio de la posición de la partícula.
Si derivamos de nuevo, obtenemos la tasa de cambio de la velocidad, es decir, la aceleración.
Ambas funciones, también darán como resultado un vector.
Si la velocidad se representa por un vector geométrico, ligado a la curva de la gráfica de posición, el vector velocidad se encuentra de manera tangente, la magnitud de este vector, es larapidez, qué tanto cambia la velocidad en un instante preciso, y la dirección de este vector es la dirección en que la posición cambia.
De manera análoga sucede con la relación entre la velocidad y la aceleración.

Movimiento rectilíneo.
El movimiento rectilíneo, requiere que la posición cambie, en cuyo caso, un vector tangente (la velocidad) será paralelo al vector posición, y si es diferente acero, la posición efectivamente cambia.
Para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, sucede lo mismo, solo que hay un tercero vector, el vector aceleración que igualmente es paralelo a la velocidad y a la posición.

Movimiento circular.
Sucede cuando una partícula está en movimiento, pero está unida a un eje, por lo cual, no puede escapar y se genera un movimiento que sigue una...