Estudiante

M GK HT 1 CAS
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Abiturprüfung 2010
Mathematik, Grundkurs
Aufgabenstellung: Der Kartenausschnitt zeigt einen künstlich angelegten Speichersee miteinem einfachen Radwegenetz in einem Koordinatensystem. Hierbei sind die Koordinaten so festgelegt, dass sich der Staudamm im Bereich der positiven y-Achse befindet. Eine Längeneinheit auf der Karteentspricht 100 m in der Wirklichkeit. Die grau dargestellte Wasserfläche wird bei einer „Normalfüllung“ des Speichersees erreicht. Der Pegel am Staudamm zeigt dann eine Wasserhöhe von 14 m an und diebetonierten Uferlinien lassen sich durch die beiden angegebenen Funktionen g und h beschreiben. 10 N R1

Staudamm

Schiffsroute

R2

B 1 S

Nur für den Dienstgebrauch!

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Die südliche Uferlinie entspricht dem Graphen der Funktion g mit

g( x )   4 x 2  6 x   e  x  2 , im Norden entspricht die Uferlinie dem Graphen derFunktion h mit
h( x )  4 x 2  20 x  9  e  x 0,5  2 .





3 Der Radweg R1 verläuft wie die Gerade y   x  12 , der Radweg R2 parallel zum Stau2 damm wie die Gerade x  6 . DieWasserbehörde verwendet für die Ermittlung des zwischen Brücke B und Staudamm befindlichen Wasservolumens eine Funktion V, die jedem Pegelstand p (in m) das Volumen V ( p) (in 100 000 m3) zuordnet. Esgelte:
V ( p)  0,0604   p2  160 p  3600   e 0,05 p1  80 , 0  p  14 .

a) Der Pegelstand am Staudamm zeigt 14 m an, d. h., der See hat „Normalfüllung“. (1) Zeigen Sie, dass die Seeoberflächezwischen der Brücke B und dem Staudamm circa 203 000 m2 groß ist. (2) Berechnen Sie das im See befindliche Wasservolumen und ermitteln Sie die durchschnittliche Seetiefe. (16 Punkte)

b) Für dieWasserbehörde tritt eine kritische Situation der Wasserversorgung des Umlandes ein, wenn die Wassermenge im See unter 400 000 m3 fällt. Berechnen Sie den Pegelstand, bei dem diese kritische Situation...