estudiante

An
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uia

Funciones polinomiales

Instituto de Matem´ticas*
a
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Unviersidad de Anquioquia
Medell´ 28 de septiembre de 2011
ın,

1.

Introducci´n
o

2.

ive

rsid

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de

Los polinomios forman una clase muy importante de funciones en matem´ticas que est´n definidos en t´rminos de sumas, restas y multiplicaa
a
e
ciones demonomios. Los polinomios aparecen en diversas ´reas de la maa
tem´tica y las ciencias naturales, usualmente en problemas de aplicaci´n que
a
o
invocuran ecuaciones polin´micas, y es por esto que es de gran importancia
o
contar con m´todos para calcular y estimar (aproximar) sus ra´
e
ıces.
Encontrar las ra´ de una ecuaci´n polin´mica es uno de los problemas
ıces
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m´s antiguos enmatem´ticas. Sin embargo, los conceptos formales y la
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a
notaci´n que actualmente utilizamos para resolver este tipo de problemas,
o
s´lo fueron desarrollados a partir del siglo XV d. C. Antes de esto, las
o
ecuaciones eran escritas en palabras y no con los s´
ımbolos actuales.
El matem´tico franc´s Francois Vi`te (Fontenay-le-Comte, 1540 - Par´
a
e
e
ıs,
Figura 1: F. Vi`te
e
1603) esconsiderado uno de los precursores del ´lgebra moderna. En su obra
a
principal Isagoge Artem Analycitem (“Introducci´n al arte anal´
o
ıtico”), se presenta por primera
vez una concepci´n consistente y sistem´tica de la noci´n moderna de ecuaci´n algebraica. Vi`te
o
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e
introduce el uso de s´
ımbolos para representar los t´rminos que constituyen una ecuaci´n: vocales
e
o
para lasinc´gnitas y consonantes para los valores conocidos (coeficientes). Este enfoque, adem´s
o
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de proporcionar m´todos para resolver ecuaciones lineales y cuadr´ticas, permiti´ establecer la
e
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o
relaci´n que existe entre las formas de las soluciones de una ecuaci´n y sus coeficientes.
o
o
El trabajo de Vi`te al final del siglo XVI marca el inicio de lo que actualmente conocemos como
e
a´lgebra. Durante este per´
ıodo se desarrollaron m´todos para la b´squeda sistem´tica de soluciones
e
u
a
de ecuaciones de grado superior (y t´cnicas para aproximar dichas soluciones) que finalmente
e
conducir´ al surgimiento del concepto de polinomio. Este per´
ıan
ıodo fue testigo de la adopci´n de
o
muchas de las ideas del ´lgebra en otras disciplinas matem´ticas como la geometr´ elan´lisis y la
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ıa,
a
l´gica, y finaliz´ con el surgimiento de nuevos objetos matem´ticos que finalmente reemplazar´
o
o
a
ıan
a los polinomios como tema principal de estudio del ´lgebra.
a

Polinomios

Definici´n 2.1. Se dice que f es una funci´n polinomial de grado n, con coeficientes reales, si
o
o

Un

f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0

con an = 0.

Ejemplo 2.2..

1. f (x) = a0 con a0 = 0 se conoce como la recta horizontal, observe que el grado de f es 0.
2. f (x) = a1 x + a0 corresponde a la recta con pendiente a1 y el grado de f es 1.
* Esta

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Instituto de Matem´ticas, Universidad de Antioquia
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3. f (x) = a1 x2 + a1x + a0 es una par´bola con eje vertical, el grado de f es 2.
a

Observaci´n 1. Todas las funciones polinomiales son funciones continuas (no tienen cortes ni
o
interrupciones).

2.1.

Casos especiales

El “comportamiento” de la gr´fica de una funci´n polinomial depender´ del grado de la funci´n.
a
o
a
o
Por ejemplo, para f (x) = axn tendremos las siguiente s dependiendo que el gradon sea par o impar.

Si n es un entero positivo impar (figura (2)), f es una funci´n impar y la gr´fica de f es sim´trica
o
a
e
con respecto al origen. Notemos que conforme n aumenta, la gr´fica “crece” con m´s “rapidez”
a
a
para x > 1.
o
a
e
Si n es un entero positivo par (figura (3)), f es una funci´n par y la gr´fica de f es sim´trica
con respecto al eje y . Observemos que a...