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6 Topolog´ıa c´osmica
Como se expuso en la secci´on anterior, los modelos homog´eneos e is´otropos de FriedmannLemaitre admiten secciones espaciales de tipo esf´erico, eucl´ıdeo o hiperb´olico de acuerdo
a que su curvatura (espacial) constante sea positiva, cero o negativa.
Pronto se reconoci´o, por Friedmann, Lemaitre y algunos otros, que las m´etricas con
curvatura negativa o ceroadmit´ıan espacios con topolog´ıas cerradas, de volumen finito.
Las ecuaciones de Einstein son ecuaciones en derivadas parciales, y describen las caracter´ıstica del espacio-tiempo desde un punto de vista local. En este sentido la teor´ıa de
la relatividad no fija la estructura global del espacio-tiempo, y por lo tanto la forma del
universo.Desde 1917 se sab´ıa que a una misma soluci´on de las ecuacionesde Einstein en general le puede corresponder un gran n´umero de universos topol´ogicamente distintos (no
equivalentes). As´ı, poco despu´es de la aparici´on de la soluci´on est´atica de Einstein (1917),
que propon´ıa un modelo esf´erico (con curvatura constante positiva), De Sitter observ´o
que dicha soluci´on admit´ıa un modelo cosmol´ogico esf´erico ”no simplemente conexo”,
denominadoel´ıptico, obtenido a partir de la esfera tridimensional identificando los puntos
diametralmente opuestos. Este espacio tiene igual m´etrica que el espacio esf´erico, pero la
mitad de volumen.
Posteriormente, H. Weyl, Friedmann y Lemaˆıtre tambi´en trataron el tema de la
topolog´ıa global del espacio, y la posibilidad de considerar modelos de espacios m´ultiplemente conexos. De hecho, Friedmann (en1923) precis´o que la teor´ıa de Einstein era
incapaz de ocuparse de la estructura global del espacio-tiempo.
En el caso de curvatura nula, se sabe que existen 17 formas de espacios m´ultiplemente
conexos que son localmente equivalentes al espacio eucl´ıdeo pero que, topol´ogicamente,
son muy diferentes. Un ejemplo de uno de ellos es el toro en tres dimensiones. Sin
embargo, la idea de utilizarespacios m´ultiplemente conexos no atrajo mucho.
Ahora, uno puede preguntarse porqu´e el universo tiene que tener la topolog´ıa m´as
simple. La simplicidad de nuestro Universo no ha sido establecida por observaciones
cosmol´ogicas. En la mayor´ıa de los trabajos te´oricos sobre cosmolog´ıa se supon´ıa, hasta
hace poco tiempo, que el Universo estaba dotado de las propiedades topol´ogicas m´assencillas posible, y por ello se presupon´ıa que eran espacios simplemente conexos. As´ı, el
problema de la topolog´ıa del espacio-tiempo era generalmente ignorado.
Hasta 1990, las investigaciones en topolog´ıa c´osmica eran escasas. En la d´ecada pasada,
comenz´o a ser desarrollada principalmente en el marco de la gravitaci´on cu´antica. A ello
se uni´o tambi´en los esfuerzos en observaci´oncosmol´ogica para determinar la curvatura y
el tama˜no del universo.
Un resultado conocido en geometr´ıa de Riemann dice que si M es una variedad completa de curvatura constante entonces su recubrimiento universal M˜
es uno de los tres
modelos can´onicos de curvatura constante, el 3-espacio eucl´ıdeo, la esfera tridimensional
o el espacio hiperb´olico tridimensional, y M es el espacio de´orbitas de un subgrupo Γ
del grupo de isometr´ıas de M˜ que act´ua libremente y discontinuamente sobre M˜
. A
grosso modo esto quiere decir que localmente la geometr´ıa de una variedad de curvatura
constante coincide con la de sus modelos can´onicos globales simplemente conexos (”sin
agujeros”). Observar que el recubridor universal de la variedad de Riemann M es una
variedad de Riemannsimplemente conexa que la recubre, es localmente isom´etrica a M
y est´a constituida por un n´umero de copias m´ultiples de puntos de M.
De dicho resultado, dado que la simplicidad de nuestro 3-espacio M no ha sido establecido por observaciones cosmol´ogicas, nuestro 3-espacio puede igualmente ser uno de los
posibles cocientes (m´ultiplemente conexos, o con agujeros) M = M=
˜ Γ.
Sabemos que la...