Estudiante

Introducción a las ecuaciones diferenciales.
Definiciones básicas y terminologías.
y= f  x
y '= f '  x 
y ' '= f ' '  x 
y ' ' '= f

'''

x

En los cursos de cálculo el alumno aprendió que, dada una función y= f  x la derivada
'

y = f '  x  es también una función de x y que se encuentra mediante alguna regla
2

2

'
apropiada. Por ejemplo: y=e x entonces y ' =2 xe x o bien y =2 x y

Definición de ecuación diferencial.
Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o mas variables
dependientes se dice que es una ecuación diferencial.
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con el tipo, el orden y la linealidad.
Clasificación según el tipo:
Si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más variablesdependientes
con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación
diferencial ordinaria.
Ejemplos:
dy
a
−5 y =1
dt
 y−x  dx4 x dy=0
b
du dv
− =x
c
dx dx
d

d2 y
dy
−2 6 y=0
2
dx
dx
Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o mas variable dependientes

de dos o más variables independientes de llama ecuación diferencial parcial.Ejemplos:
∂u
∂v
a
=−
∂y
∂x
∂u
∂v
b
x
y
=u
∂x
∂y
∂2 u ∂2 u
∂u
c
= 2 −2
2
∂t
∂x
∂t

1

Clasificación según el orden:
El orden de la más alta derivada de una ecuación diferencial se llama orden de la
ecuación.
Ejemplos:
dy
a  4 x  y= x
dx

Ecuación diferencial ordinaria de 1er orden.
3

b
c

d2 y
dy
5
−4 y=e x
2
dx
dx
4
∂ u ∂2 u
a 2 4  2=0
∂x
∂t

 

Ecuación diferencial ordinaria de 2º orden.
Ecuación diferencial parcial de 4º orden.

Clasificación según la linealidad o no linealidad.
Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma:
dn y
d n−1 y
dy
a n  x
a n−1  x  n −1 ⋯a 1  x  a 0  x  y =g  x 
n
dx
dx
dx
Ejemplos:
x dy y dx=0
a

Ecuación diferencial ordinaria lineal de 1er orden.
Ecuación diferencial ordinaria lineal de 2º orden.

b

y ' ' −2 y '  y =0

c

x

d

y y ' ' −2 y ' =x

Ecuación diferencial ordinaria no lineal de 2º orden.

e

d3 y
 y 2=0
3
dx

Ecuación diferencial ordinaria no lineal de 3º orden.

3

2
d3 y
dy
2 d y
x
−x
3 x 5 y=e
3
2
dx
dx
dx

Ecuación diferencial ordinaria lineal de 3º orden.Definición de solución de una ecuación diferencial.
Se dice que una función f definida en cualquier intervalo I es una solución de una
ecuación diferencial en el intervalo, si sustituida en dicha ecuación reduce a una identidad.
Ejemplos: Verifique que las funciones son una solución de la ecuación.
a

x4
y=
16
dy 1 3
= x
dx 4

1

dy
=x y 2
dx

 
 

1 3
x4
x =x
4
16
1 3x2
x =x
4
4
1 3 1 3
x= x
4
4

2

1
2

b

y ' ' −2 y '  y =0
x e x2 e x −2 x e x e x  x e x =0

y ' ' =x e x 2 e x

c

y= x e x
y ' =x e x e x

x e x2 e x −2 x e x −2 e x  x e x =0
0=0

c
y= 1
x
c
'
y =− 2
x

dy
 y=1
dx
c
c
x − 2  1=1
x
x
c c
−  1=1
x x
1=1
x

 

c0

c=0

c0

d

y=C 1 cos 4 x

y ' =−4 C 1 sen 4x
y ' ' =−16C 1 cos 4 x
y=C 2 sen 4 x

y ' =4C 2 cos 4 x

y ' ' 16 y=0
−16 C 1 cos 4 x16 C 1 cos 4 x=0
0=0

y ' ' 16 y=0
−16 C 2 sen 4 x16C 2 sen 4 x=0
0=0

y ' ' =−16C 2 sen 4 x

3

Ejercicio 1: Verifique que la función sea solución de la ecuación.
−

x
2

1

y=e

2

y=e 3 x 10 e 2 x

3

y=5 tan 5 x
1
1
−x
y= sen x− cos x10 e
2
2
1
y=− 2
x6 6
y= − e −20 t
5 5

4
5
6

2 y '  y=0
dy
3x
−2 y=e
dx
y ' =25 y 2
y '  y=sen x
x

2

dy
2 x y=0
dx

dy
20 y=24
dt

4

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden.
Problemas con condición inicial.
'
A diario nos interesa resolver una ecuación diferencial de primer orden y = f  x , y 

sujeta a la condición adicional y  x 0 = y 0 donde x 0 es un...