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GUIA DE EJERCICIOS
Unidad I: Expresiones algebraicas





Universidad Metropolitana
Elementos de Matemática 2


GUIA DE EJERCICIOS
Unidad I: Expresiones algebraicas

Parte I. Productos notables.

Definición. Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y que se obtienen con un simple desarrollo, sin necesidad de efectuar el producto.

Cuadradode un binomio.
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2

Cubo de un binomio.
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3

Producto de la suma y la diferencia de dos términos.
(x + y)(x – y) = x2 – y2

Producto de binomios con un término común.
(x + a)(x + b) = x2 +(a+b)x + ab


Ejemplo 1. Desarrollar (xa+1 – 4xa-2)2
(xa+1 – 4xa-2)2 = (xa+1)2- 2 xa+1. 4xa-2 + (4xa-2)2 = x2a + 2 – 8x2a – 1 +16x2a -4

Ejemplo 2. Desarrollar (3a3 - 7xy4)3
(3a3 - 7xy4)3 = (3 a3)3 - 3(3 a3)2(7xy4) + 3(3 a3)(7xy4)2 - (7xy4)3
= 27a9 – 189a6xy4 + 441a3x2y8 – 343x3y12

Ejemplo 3. Desarrollar (5a + 9)(5a - 6)
(5a + 9)(5a - 6) = (5a)2 +(9-6)(5a) - 9(6) = 25a2 + 15a - 54

Ejemplo 4. Desarrollar (2x + 5)(2x - 5)
(2x + 5)(2x- 5) = (2x)2 -52 = 4x2 -25.
Ejemplo 5. Decida si las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

a) Al desarrollar el producto notable (8x3ym+1 – 7x2y4)2 la expresión que se obtiene es 64x9y2m+2 + 112x5ym+5 + 49 x4 y8.

Respuesta:

Al aplicar la regla del cuadrado de un binomio se obtiene:

(8x3ym+1)2 -28x3ym+1 .7x2y4 + (7x2y4)2 = 64x6y2m+2 - 112x5ym+5+ 49 x4 y8

Por lo tanto, la proposición es falsa, ya que el resultado obtenido no corresponde con la expresión dada.

b) La expresión Y6x2m+2 - 64 corresponde al desarrollo del producto notable (y3xm+1 + 8) (y3xm+1 - 8).

Respuesta:
Si se desarrolla el producto (y3xm+1 + 8) (y3xm+1 - 8) aplicando la regla correspondiente se obtiene:
(y3xm+1)2 – (8)2 = y6 x2m+2 – 64. Se concluye quela afirmación es verdadera, ya que coincide con la expresión planteada.


Precaución!!!

(x + y)2 ≠ x2 + y2.

Para darte cuenta basta considerar (o asignar ?) dos valores cualesquiera x y y, por ejemplo, x = 6 y y = 3, al sustituir estos números en las expresiones situadas a cada lado de la igualdad se obtiene
(6 + 3)2 = 92 = 81
62 + 32 = 36 + 9 =45
81 ≠ 45.

Recuerda que (x +y)2 = x2 + 2xy + y2.


Ejercicio 1. Desarrollar los siguientes productos notables aplicando la regla correspondiente:

1. (x + 5)2 R: x2 + 10x + 25
2. (7a + b)2 R: 49a2 +14ab + b2
3. (4ab2 + 6xy3)2 R: 16a2b4 48ab2xy3 + 36x2y6
4. (xa+1 + yb-2)2 R: x2a+2 + 2 xa+1 yb-2 + y2b-4
5. (8 - a)2R: 64 – 16ª + a2
6. (3x4 -5y2)2 R: 9x8 – 30 x4 y2 + 25y4
7. (xa+1 - 4xa-2)2 R: x2a+2 – 8x2a-1 + 16x2a-4
8. (5a + 10b)(5a - 10b) R: 25a2 – 100b2
9. (7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3) R: 49x4 – 144y6
10. (x + 4)3 R: x3 + 12x2 + 48x + 64
11. (5x + 2y)3 R: 125x3 + 150x2y + 60xy2 + 8y3
12. (2x2y + 4m)3R: 8x6y3 +48x4y2m+96xym2 +64m3
13. (- )2 R: x2 - x +
14. (a2m-1+b)2 R: a4m-2 + a2m-1b + b2
15. (x3 - )(x3 + ) R: x6 -
16. (x + 5)(x + 3) R: x2 + 8x + 15
17. (a + 9)(a - 6) R: a2 + 3a - 54
18. (y - 12)(y - 7) R: y2 – 19y + 84
19. (4x3 + 15)(4x3 + 5) R: 16x6 + 80x3 + 75
20.(5ya+1 + 4)(5ya+1 - 14) R: 25y2a+2 – 50ya+1 - 56


Ejercicio 2. Decida si las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

a) Al desarrollar el producto notable (9x4y3m+1 – 5x3y2) (9x4y3m+1 +5x3y2) usando la regla correspondiente, la expresión que se obtiene es: 81x16y9m+2 - 25 x9y4.

b) La expresión 8x6y3 +48x4y2m - 96xym2 + 64m3 corresponde al...