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CAPÍTULO III: SOLUCIÓN

DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MÉTODOS EXACTOS

3.3.4 Inversión de matrices particionadas
Cuando la matriz A es de orden tan grande que no se puede invertir conlos
métodos antes vistos debido a la capacidad limitada de almacenamiento de la
computadora que se dispone, es posible dividirla en submatrices de orden menor.
El método que se verá a continuación,sólo se puede aplicar cuando la partición de
una matriz A se puede realizar en cuatro submatrices; la única restricción para realizar
la partición, es que las submatrices de la diagonal principal seancuadradas para
asegurar en cierta forma la existencia de las inversas que se requieran y puedan
efectuarse los productos matriciales necesarios. Esto se ejemplifica en el cuadro 3.1.
etc.Inversión de matrices realizando 4 particiones
Si un sistema de ecuaciones lineales de la forma (3.2), se puede expresar en forma
matricial como:

(3.7)
en donde fijada la posición de la submatriz A22 enA quedan obligadas las otras
submatrices que aparecen en (3.7). De esta manera, si A22 es de orden m × m , los
vectores x2 y b2 estarán formados por últimos m elementos de x y de b .
Para resolverel sistema matricial (3.7), se realizarán las operaciones matriciales
indicadas en él, tomando en cuenta que los elementos de dicho sistema son a su vez
matrices:

A11 x1

+

A12 x2

=b1

(3.8)
A21 x1 + A22 x2 = b2
Se despeja el vector x2 de la segunda ecuación de (3.8), para resolver el sistema de
ecuaciones lineales; obteniéndose:

A22 x2 = b2 − A21 x1
−
x2 = A221 (b2 −A21 x1 )
−
−
⇒ x2 = A221b2 − A221 A21 x1

Sustituyendo x2 , en la primera ecuación de (3.8) y despejando de ésta el vector x1 ,
se obtiene:
−
−
A11 x1 + A12 ( A221b2 − A221 A21 x1 ) = b1
−
−A11 x1 + A12 A221b2 − A12 A221 A21 x1 = b1

MÉTODOS NUMÉRICOS I - 1

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MÉTODOS NUMÉRICOS I - 2

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