estudiante

Universidad de Antioquia- Facultad de Ingenier´
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Algebra lineal- Taller 2
Profesor: Fernando Ram´ Huaca
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Semestre 2012-2
Nota: ”Casi” todos los puntos del segundo parcial salen de estetaller
En los problemas 1 a 4 para la matriz indicada A obtenga RA , CA , ρ(A), NA , ν(A), verifique que
ρ(A) + ν(A) = n y que RA ⊥NA
1.

2.

3.

4.


1 2 2
3 4 5

1 −1 2
3 1 0

1 1 2
 2 4 6 
3 4 7

1 −1 2 2
3 1 4 1

5. Encuentre matrices A2×2 y B2×3 tales que CA = R2 , NA = 0 y CB = gen {(1, 1)},
NB =plano Π con ecuaci´n 2x − 3y + z = 0.
o
6. Demostrar que elrango de una matriz diagonal es igual al numero de componentes no
nulas en la diagonal.
7. Sea A2×3 una matriz. Pruebe que ρ(A) ≤ 2 y ν(A) ≥ 1.
8. Sea Am×n una matriz tal que para todo y ∈ Rm existex ∈ Rn tal que Ax = y. Pruebe
que ρ(A) = m.
9. Halle las coordenadas de (3, 5) respecto a cada una de las siguientes bases
B1 = {(1, 2), (2, 1)} , B2 = {(−1, 2), (2, 3)} , B3 = {(a, c), (b, d)}con ad − bc = 0.
10. Encuentre las coordenadas de p(x) = 3x2 −4x+7 respecto B = {x2 , 2x(1 − x), (1 − x)2 }.
11. Sea B1 = {(1, 2), (0, 1)} , B2 = {w1 , w2 } base de R2 , si lamatriz C : B2 → B1 es2 1
1 1

determine B2 .
12. Si en R2 (x)B1 = (2, −1) donde B1 = {(1, 1), (2, 3)} escriba x en t´rminos de
e
B2 = {(0, 3), (5, −1)}.
13. Demuestre que la matriz de cambio de coordenadas o derotaci´n de un angulo θ (de
o
´
la base can´nica de R2 a esta misma base girada un angulo θ en sentido antihorario)
o
´
est´ dada por
a
A=

cos(θ) sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)

.

.

14.Encuentre una base ortonormal para cada espacio
H = (x, y, z) ∈ R3 | 2x − y + 3z = 0
H = gen {(1, 1, 3), (−1, 1, 2)} .
15. Ecuentre la distancia del punto (2, 3, −1) al plano 3x − 2y + z = 0encontrando la proyecci´n del punto sobre el plano.
o
16. Para cada subespacio H y vector v encuentre h ∈ H y p ∈ H ⊥ tal que v = h + p
H = {(x, y)| x + 2y = 0} , v = (1, 5)
H = {(x, y, z)| 3x − 2y + 6z =...