Estudiante

AREA DE UNA REGIÒN PLANA
1.- Área de Figuras en Coordenadas Rectangulares
1.1.- Definición.- el área de la región R del plano XY comprendida entre las dos curvas
x = a y x = b, se define mediante:

A=AR=ab|fx-gx|dx |

En la figura, el rectángulo genérico tiene altura h=|fx-g(x)|; base dx y área dA=|fx-g(x)|dx. El límite de las sumas de tales áreas es igual aab|fx-g(x)|dx según ladefinición de integral definida.
1.2.- Caso Particular.- Si f(x) > 0 en el intervalo cerrado [a, b] entonces:
A= abf(x)dx |
Es el área bajo la curva f(x), el eje x y las rectas verticales x=a, x=b.
1.3.- Definición.- el área de la región S del plano XY comprendida entre las dos curvas continuas f(x) y g(x) y las rectas horizontales y=c e y=d, se define mediante:
A=AS=cd|fy-g(y)|dy |En la figura h=fy-gy, dA=h dy.
1.4.- Propiedades de la Función Área.- Se cumplen las siguientes propiedades:
* A(R) ≥ 0
* Si una región T se compone de dos regiones R y S, entonces:
A (T) = A(R) + A(S) – A(C)
Donde C es la región común a R y S.

1.5.- Problemas Resueltos
Problema 1
Hallar el área de la región limitada por la parábola y=4x-x2 y el eje x
Solución: Calculamoslos limites de integración
0=4x-x2, x=0,4.

Tenemos
A= 044x-x2dx=2x2-x3304
= 323
Problema 2
Encontrar el área de la región acotada por las curvas fx=x3-6x2+8x y gx=x4-4x
Solución: resolviendo la ecuación x3-6x2+8x=x4-4x para hallar los límites de integración, tenemos:
x3-7x2+12x=0 o xx-3x-4=0
De donde x = 0, 3, 4.

Tenemos fx-gx=x3-7x2+12x=xx-3(x-4)
En 0 < x< 3, se tiene f(x) - g(x) > 0
y en 3 < x < 4, se tiene f(x) - g(x) < 0, luego A=A1+A2
=03fx-gxdx+34fx-gxdx
=03fx-gxdx-34fx-gxdx
=x44-7x33+6x203-x44-7x33+6x234=454+712=716

Problema 3
Hallar el área comprendida entre la parábola x=8+2y-y2, el eje Y y las rectas y = -1 e y = 3
Solución

x-9=-y2-2y+1
x-9=-(y-1)2
V (9, 1)
A=AR=-138+2y-y2dy= 923
Problema4
Hallar el área de la región acotada por la curva y = tan x, el eje x y la recta x=π3
Solución

A=0π3tanx dx =ln⁡|secx|0π3=ln2
Problema 5
Hallar el área de la intersección de los círculos x2+y2=4 y x2+y2=4x
(x-h)2+(y-k)2=x2 C (2,0); r = 2
Solución los puntos de intersección de los círculos se obtienen resolviendo la ecuación

y2=4-x2=4x-x2
4x-4=0
x-1=0
x=1y=±3

Despejando x,
x=±4-y2, para el circulo de la izquierda
x=4±16-4y22=2±4-y2, para el circulo de la derecha
Luego
A=-334-y2-(2-4-y2)dy,
=2-334-y2-1dy
=y24-y2+arcseny2-y-33
=8π3-23

Problema 6
Encontrar el área de la región comprendida entre las parábolas y=x2,
y=x22 y la recta y=2x
Solución

El área buscada es A=A1+A2
Lascoordenadas de lo puntos P y Q de intersección de la recta y=2x con las parábolas y=x2, y=x22 son, respectivamente
* 2x=x2 →xx-2 → x=2, y=4
* 2x=x22 →4x=x2→xx-4→ x=4, y=8 y
A1=02(x2-x22)dx= 12.x3302=43
A2=24(2x-x22)dx= x2-x3624=83
Por lo tanto A= 4.
Problema 7
Hallar el área de la región limitada por la curva y=11+x2 y la parabola y=x22.Solución

Los puntos en los cuales las dos curvas se cortan se obtienen igualando las ordenadas
y=11+x2=x22 ,
x4+x2-2=0, x2=-1±92=1,-2, Esto es x=±1.

El área buscada es A=A1+A2=2A2= 20111+x2-x22dx
2arctanx-x3601=2π4-16=π2-13.
Problema 8
Encontrar el área de la región acotada por la hipérbola x2a2-y2b2=1, y la recta x=2a.
Solución

Tenemos A = área buscada =2a2abax2-a2dx
=2bax2x2-a2-a22lnx+x2-a2a2a
=2ab3-12ln⁡2+3=ab23-ln2+3

Problema 9
Hallar el área de las dos regiones en las cuales el círculo x2+y2=8 es dividido por la parabola y2=2x
Solución

El circulo queda dividido en las regiones R y S
Vamos a calcular el área de la región S. los puntos de intersección de las dos curvas son:
x2+2x=8,
x2+2x-8=0,
x+4x-3=0,
x=2, y=±2...