Estudiante

Editado por
Verónica Gruenberg Stern

Apuntes de

MAT021 - Cálculo

vs. 1er. sem. 2013

Prefacio

Estimados alumnos:
Este texto ha sido desarrollado especialmente para ustedes, y es el resultado del aporte de muchos
colegas del Departamento de Matemática de la Universidad Técnica Federico Santa María, que a
lo largo del tiempo han dictado este curso. Las diferentes seccionesincorporan apuntes de profesores tanto de Casa Central como del Campus Santiago, especialmente Pedro Gajardo y Erwin
Hernández. En esta versión, éstos han sido editados por quien suscribe, para que su estructura
incorpore no solo los contenidos que se espera conozcan en profundidad, sino que también una
gran cantidad de ejercicios resueltos y propuestos, que esperamos resuelvan con entusiasmo, paralograr mejores aprendizajes. Hemos optado también por incluir muchas demostraciones de los
teoremas que revisarán en clases. No es el objetivo que todas éstas sean vistas en clases. Más bien,
esperamos que los alumnos interesados, tengan la posibilidad de profundizar en la aprehensión
de los conceptos involucrados, y de comprender cómo se realiza la construcción del conocimiento
matemático.Esperamos que esta segunda versión, aún preliminar, les sea de utilidad, y que cualquier error que encuentren (por cierto, involuntario), nos sea informado al mail indicado abajo.
Es importante que tengan presente que este apunte no reemplaza las clases. Para lograr un buen
aprendizaje de los conceptos e ideas que considera este curso, es fundamental que asistan a clases,
participen activamenteen ella, estudien de manera metódica, ojalá estructurando un horario de
estudio diario, preparándose siempre para su próxima clase y que planteen a sus profesores cualquier duda que les surja.
Cordialmente,
Verónica Gruenberg Stern
Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa María

veronica.gruenberg@usm.cl
I

Índice general

Prefacio

I

Índice general

III1. Números Reales

1

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. El Cuerpo de los Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3. Axiomas de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.1. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.2. Inecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.3. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.4. Ecuaciones e Inecuaciones lineales con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.5. Inecuaciones cuadráticas . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4. Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.5. Ejercicios de controles y certámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2. Funciones

31

2.1. El Concepto de Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

312.2. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.1. Algebra de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.3. Funciones invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3.1. Funciones exponencial y logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .

48

2.3.2. Bases 10 y e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.4. Funciones como modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.5. Ejercicios de Controles y Certámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3. Límites y Continuidad

59

3.1. Necesidad del...