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APLICACIONES DE LA DERIVADA

En esta parte miramos el comportamiento de un función f sobre un intervalo I. ¿Tiene f un valor máximo en I?¿y un valor mínimo?¿Dónde es creciente y decreciente la función? Aprovecharemos la derivada para responder estas preguntas
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Sea y = f(x) una función derivable en el intervalo (a,b).
Sí f '(x) > O para todo x en elintervalo (a,b) entonces y = f(x) es creciente el intervalo (a,b).
SÍ f '(x) < O para todo x en el intervalo (a,b) entonces y = f(x) es decreciente el intervalo (a,b).
SÍ f '(x) = O para todo x en el intervalo (a,b) entonces y = f(x) es constante el intervalo (a,b).
VALORES MÁXIMOS Y MINIMOS
Algunas de las aplicaciones mas importantes del calculo diferencial son los problemas de optimización.
.DEFINICION
Sea y = f(x) una función definida en el intervalo (a,b) que contiene a c.
Si f( c )  f( x ) para todo x en el intervalo (a,b), entonces f(c) es el valor mínimo de f(x) en el intervalo (a,b)
Si f( c )  f( x ) para todo x en el intervalo (a,b), entonces f(c) es el valor máximo de f(x) en el intervalo (a,b)
El máximo y el mínimo de una función en un intervalo se llaman valoresextremos o extremos de la función en ese intervalo .FIG 14
EXTREMOS RELATIVOS
Si existe algún intervalo abierto (a,b) que contiene a c en el que f(c) es el valor mínimo, se dice que f(c) es un mínimo relativo de f(x).
Si existe algún intervalo abierto (a,b) que contiene a c en el que f(c) es el valor máximo, se dice que f(c) es un máximo relativo de f(x).FIG 14
NUMEROS CRÍTICOS
Si y = f(x) es una función definida en c y f '(c) = 0 ó si f '(x) no está definida en
x = c. entonces c es un número crítico de y = f(x).
Amigo estudiante como parte de tu estudio independiente debes consultar el teorema de Rolle y teorema del Valor Medio
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Sea c número crítico de una función y = f(x) continúa en (a,b) quecontiene a c. SÍ f(x) es derivable en (a,b), excepto quizás en c, entonces: FIG 16
Si f ' (x) cambia de negativa, para x < c, a positiva, para x > c, entonces f(c) es un mínimo relativo de f(x)
Si f ' (x) cambia de positiva, para x < c, a negativa, para x > c, entonces f(c) es un máximo relativo de f(x)
Si f ' (x) no cambia su signo a partir de x = c, entonces f(c) no es un mínimo ni unmáximo relativo de f(x).

FIG 16
MAXIMOS Y MINIMOS ABSOLUTOS
Método del intervalo cerrado. Para hallar los valores máximos y mínimos absolutos de una función continua f sobre un intervalo cerrado [a,b]:
1. Encuentre los valores de f en los números críticos de f en (a,b)
2. halle los valores de f en los puntos extremos del intervalo
3. El mas grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valormáximo absoluto, el mas pequeño el valor mínimo absoluto.
CONCAVIDAD
Sea y = f(x) una función derivable en un intervalo abierto (a,b). Diremos que la gráfica de la función f (x) es cóncava hacia arriba si f '(x) es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo si f '(x) es decreciente en ese intervalo. FIG 17


FIG 17
CRITERIO DECONCAVIDAD
Sea. y = f(x) una función cuya segunda derivada, f "(x) existe en un intervalo abierto (a,b), entonces:
1. Si f " (x) > O para todo x en (a,b), entonces la gráfica de f(x) es cóncava hacia arriba en ese intervalo.
2. Si f" (x) < O para todo x en (a,b), entonces la gráfica de f(x) es cóncava hacia abajo en ese intervalo.
Nota Una recta nunca es cóncava hacia arriba ó hacia abajo
PUNTO DEINFLEXION
Sea y = f(x) una función cuya gráfica tiene recta tangente en ( c, f(c)). Se dice que el punto ( c, f(c)) es un punto de inflexión si la concavidad de la gráfica de f cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo ( o viceversa) en ese punto.
CRITERIO PARA DETERMINAR PUNTOS DE INFLEXIÓN
Sea y = f(x) una función definida en un intervalo abierto (a,b), que contiene a x = c, si f "(c) =...