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UNIDAD 5

Geometría analítica
5.1 Aspecto general de geometría analítica
La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:
Dado el lugar geométrico en unsistema de coordenadas, obtener su ecuación.
Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación.
Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f es una función u otro tipo de expresión matemática: las rectas se expresan como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x + 6y = 0), las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones poli nómicas de grado 2 (la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1).
En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por dos números, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dosnúmeros reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único punto del plano.



Localización de un punto en el plano cartesiano
Como distancia a los ejes

En un plano traza dos rectas orientadas perpendiculares entre sí (ejes) —que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical—, y cada punto del planoqueda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x, y) siendo x la distancia a uno de los ejes (porconvenio será la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal).
La Geometría Analítica fue iniciada y desarrollada Por el eminente matemático y filósofo Renato Descartes. Por eso a este sistema de ejes Coordenados también se le conoce como "Sistema Cartesiano".
Geometría Analítica: sistema de ejes coordenados rectangulares.- Dos rectas que se cortan se encuentran enun mismo plano. Si las líneas son perpendiculares entre sí tenemos lo que se llama un sistema de ejes coordenados rectangulares.
En geometría, si trazamos dos rectas numéricas perpendiculares entre sí haciendo coincidir el punto de corte con el cero común, obtenemos un sistema de ejes coordenados rectangular.






La línea X'X se llama eje de las x o eje de las abscisas y la líneaY'Y se llama eje de las y o eje de las ordenadas.
En geometría los ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. XOY es el primer cuadrante, YOX' el segundo, X'OY' el tercero y Y'OX el cuarto cuadrante.
Podemos decir que el origen O, donde se encuentra el cero común de ambas rectas numéricas, divide a cada eje en dos semiejes, uno positivo y el otro negativo. Cualquier distanciao posición medida sobre el eje de las x de O hacia la derecha es positiva y de O hacia la izquierda es negativa.
Similarmente, cualquier distancia o posición medida sobre el eje de las y de O hacia arriba es positiva y de O hacia abajo es negativa.
La distancia de un punto al eje de las ordenadas se llama abscisa del punto y su distancia al eje de las abscisas se llama ordenada del punto. Laabscisa y la ordenada del punto son las coordenadas cartesianas del punto. Las abscisas medidas del eje YY' hacia la derecha son positivas y hacia la izquierda, negativas. Las ordenadas medidas del eje XX' hacia arriba son positivas y hacia abajo son negativas.
Ubicación de un Punto por sus Coordenadas.
Conociendo las coordenadas de un punto se puede ubicar el punto en el plano. Por ejemplo,...