Estudiante

CÓNICAS
Autora: Silvia Sokolovsky

Las figuras que se van a estudiar, todas ellas conocidas con el nombre genérico de cónicas, se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un plano. Lamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje; mientras que denominamossimplemente Cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano. Las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.


CIRCUNFERENCIA

Circunferencia: Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distanciade un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

Observación: es de destacar que el término x y no aparece, la razón es que se ha supuesto que los ejes de simetría de las cónicas son paralelos a los ejes de coordenadas; en caso contrario aparecería este término, que como es lógico dependerá del ángulo de inclinación de los ejes.

Ecuación analítica de la circunferencia: si hacemoscoincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamadacanónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos


x2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0.
Si reemplazamos – 2a = D; – 2b = E; F = a2 + b2 – r2 tendremos que:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0



Ejercicio:
Si tenemos la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0
Entonces tenemos que: D = 6 Þ 6 = – 2a Þ a = – 3
E = – 8 Þ – 8 = – 2b Þ b = 4
El centrode la circunferencia es (– 3, 4). Hallemos el radio
F = (– 3)2 + 42 – r2 Þ – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 Þ r = 6
La ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36

Problema:
Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación, y que pasa por el punto (-3,4).

Por ser concéntricas tienen el mismo centro.
















PARABULAS

Es el lugargeométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.



Ecuación analítica de la parábola: Supongamos que el foco esté situado en el punto (0, c) y la directriz es la recta y = – c, por lo tanto el vértice está en su punto medio (0,0), si tomamos un punto cualquiera P = (x, y) de la parábola y un punto Q = (x, – c) de la rectadebe de cumplirse que: PF = PQ



Elevando al cuadrado ambos miembros: x2 = 4cy
Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p, q) entonces la ecuación sería: (x– p)2 = 4c (y – q)
Desarrollando la ecuación tendremos: x2 + p2 – 2xp – 4cy + 4cq = 0
Si hacemos D = – 2p
E = – 4c
F = p2 + 4cq

Obtendremos que es: x2 + Dx + Ey + F = 0, en la que podemos observar que falta eltérmino de y2.


Ejercicio:
Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos: A (6, 1), B (-2, 3), C (16, 6).







Problema:





ELIPSE


Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Ecuación analítica de la elipse: para simplificar laexplicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c, 0) y F' (– c, 0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando Pitágoras tenemos que:




Elevamos al cuadrado ambos miembros para...