ESTUDIANTE

Facultad de Ingeniería, UAZ

1. Centroides y momentos de segundo orden
1.1 Introducción
Muchos problemas en ingeniería permiten considerar los cuerpos como entes adimensionales,
más precisamente como puntuales. Es decir, muchos casos de equilibrio de fuerzas, se consideran
como cargas concentradas quienes se aplican en un punto. Sin embargo, en otros casos resulta
importante conocer lavariación que presentan las mismas o el punto donde se aplicaría la
resultante. Como ejemplo se puede citar el empuje que provoca el agua sobre un muro de
retención, el peso propio de las estructuras (v.g. cubiertas, cables, etc), la presión del viento, etc.
Para determinar el equilibrio de las estructuras sujetas a estas acciones, es necesario en algunos
casos, determinar el punto en el cualse concentraría la resultante de estas fuerzas, en otros, es
necesario conocer la variación de los esfuerzos que producen a lo largo de un elemento. También
puede ser necesario determinar algunas propiedades geométricas como el área, volúmen y el
momento que ellas producen al rededor de algún punto o de algún eje. Estas últimas
características son necesarias durante el análisis de esfuerzos ydeformaciones de los elementos
estructurales (v.g. Resistencia de materiales, Análisis de estructuras hiperestáticas, etc). En la
figura 1.1 se muestran ejemplos simples de algunas fuerzas, extendiéndose el mismo concepto a
líneas, áreas y volúmenes.

presión del agua
b) Cargas distribuídas inclinadas
a) Presión hidrostática

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c) Cargas distribuídas
d) Cargas distribuídas en cables
Fig. 1.1. Estructuras comunes en cargas distribuídas
En el caso a), la presión total del empuje del agua, se sitúa a 1/3 del tirante del agua; en el caso b)
las cargas distribuídas por peso propio no son horizontales mientras que en el tablero c) sí lo son
además de incluir una cargadistribuída uniforme (por ejemplo, debida al peso de un muro). Por
último en el caso d), el cable soporta el peso de la calzada del puente (carga uniformemente

Mecánica 2

distribuída) y su peso propio quien varía a lo largo del mismo. La variación con respecto a la
horizontal, depende de la forma que adopte el cable.
Para determinar la resultante de estas cargas, quienes forman figurasconocidas, basta con calcular
el área o volumen de las mismas. Por otro lado, para determinar la posición de esta resultante, se
hará uso del teorema de Varignon. A las coordenadas que definen la posición de la resultante se le
conoce como centroide. Por esta razón, no es muy adecuado iniciar el cálculo de centroides sin
recurrir al concepto de momento de primer orden. Frecuentemente se considerael momento al
rededor de un punto o al rededor de un eje como el producto de una fuerza multiplicada por la
distancia perpendicular a su línea de acción. Sin embargo, el momento también puede ser la
longitud de una línea, una área o un volumen multiplicado por alguna distancia. En todos estos
casos, la distancia está elevada a la primera potencia, por lo que se le llama momento de primerorden :
Mo = L (x)
Mo = A (x)__________________________________________________________________1.1)
Mo = V (x)
1.2 a) Expresiones generales para líneas
La expresión más simple para una línea es la de la recta. El centroide de una línea recta uniforme
está sin duda a la mitad de su longitud (Fig. 1.2a). Sin embargo, si se trata de una curva,
generalmente el centroide no se encuentra sobre lalínea (Fig. 1.2b). Para determinar su centroide
se supone conocida la expresión que define la trayectoria de la línea en estudio.

y

y
dl

.

L

dl

y y

.

L

y y
x

x

x

x

x

x

a) Línea recta
b)Línea curva
Figura 1.2 Centroides de líneas
De estas figuras pueden escribirse las expersiones para determinar el centroide de líneas
considerando que una porción...