estudiante

>Que sucede con las imagenes de valores evaluados bajo una funcion f cuando la variable independiente se aproxima a
un numero a?
Nota: Debemos decir que el valor a no necesariamente hace parte del dominio de la funcion f.
Para empezar a responder la pregunta, veamos el siguiente ejemplo:
La gura muestra la graca de la funcion f(x) =
9 􀀀 x2
3 􀀀 x
y queremos saber que ocurre conlas imagenes de valores
bastante proximos a 3.
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Lmite de una funcion y Continuidad (Semana No. 1) Presentacion intuitiva de la idea de lmite de una funcion
Observamos varias cosas:
1. El dominio de f corresponde a todos los numeros reales excepto x = 3. Debido a esto, la graca de f presenta un
"hueco"
2. La graca de la funcion f es una recta
Ahora, si escogemos un intervalopeque~no alrededor del valor 3 y comenzamos a aproximarnos por la derecha y por la
izquierda a este valor, notamos que las imagenes de los puntos del intervalo se aproximan a 6. Veamos la situacion descrita,
en la siguiente gura:
Decimos entonces que el lmite de la funcion f cuando x tiende o se aproxima al valor 3, es 6.
En la siguiente tabla, se muestran algunos valores bastanteproximos a 3 y al igual que en la graca, podemos observar
que ocurre con el comportamiento de sus correspondientes imagenes obtenidas al evaluar cada valor arbitrario bajo f.
Notese que se escogen valores que se acerquen o aproximen a 3 por la derecha y valores que se acerquen o aproximen a
3 por la izquierda.
x 2,7 2,8 2,9 2,95 2,96 2,97 2,98 2,99 3 3,01 3,02 3,03 3,1 3,2
f(x) 5,7 5,8 5,95,95 5,96 5,97 5,98 5,99 6 6,01 6,02 6,03 6,1 6,2
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Lmite de una funcion y Continuidad (Semana No. 1) Presentacion intuitiva de la idea de lmite de una funcion
En conclusion
1. Cuando x se acerca a 3 por la izquierda, la imagen f(x) se acerca a 6; Este hecho se simboliza as: lm
x!3􀀀
f(x) = 6. El
signo menos que aparece como exponente de 3 esta indicando que estamos acercandonospor la izquierda a este valor,
a 3.
2. Cuando x se acerca a 3 por la derecha, f(x) se acerca a 6; se simboliza as: lm
x!3+
f(x) = 6. El signo mas que aparece
como exponente de 3 esta indicando que estamos acercandonos por la derecha a este valor, a 3.
Ahora, como el lmite cuando nos aproximamos a 3 por la izquierda es igual al lmite cuando nos aproximamos a 3 por
la derecha, sedice entonces que el lmite de f(x) = 9􀀀x2
3􀀀x cuando x tiende a 3 existe, y es igual a 6. Este hecho se simboliza
as:
lm
x!3
f(x) = 6
Denicion 5.1. Se dice que lm
x!a
f(x) = L que se lee: El lmite de f(x) cuando x tiende a a, es igual a L, si es posible
hacer que los valores de f(x) se aproximen tanto como queramos L, al tomar valores para x sucientemente proximos
a a, perono igual a a.
En smbolos lm
x!a􀀀
f(x) = L y lm
x!a+
f(x) = L entonces lm
x!a
f(x) = L
5.1: Propiedades de los lmites
Utilizamos las siguientes propiedades de los lmites para calcularlos, en caso de que existan.
Si lm
x!a
f(x) y lm
x!a
g(x) existen, se cumplen la siguientes propiedades:
1. lm
x!a
k
f(x) = k lm
x!a
f(x), en donde k es un numero real.
2. lmx!a
k = k (Aqu,la funcion es la funcion constante de valor k, es decir f(x) = k)
3. lm
x!a
(f(x)  g(x)) = lm
x!a
f(x)  lm
x!a
g(x)
4. lm
x!a
(f(x)
g(x)) = lm
x!a
f(x)
lm
x!a
g(x)
5. Ademas, si lm
x!a
g(x) 6= 0, entonces
lm
x!a
f(x)
g(x)
=
lm
x!a
f(x)
lm
x!a
g(x)
Veamos ahora algunos ejemplos en donde se utilizan las anteriorespropiedades. El siguiente esquema de trabajo permite
tener un algoritmo para calcular, si existe, el lmite de una funcion en un punto:
1. Primero, evalue la funcion dada en el punto en el cual se pide calcular el lmite. Si es posible hacer dicha evaluacion,
esto es, si obtenemos un numero real como respuesta, este sera entonces el lmite buscado.
2. Segundo, si no es posible evaluar la...