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FUNCIONES RACIONALES

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.
Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numéricopara interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmentesimples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.Una función racional es  f(x)=P(x)/Q(x), donde el numerador y el denominador son formas polinómicas y f(x) es irreducible.
Para analizar una función racional debemos tener en cuenta las siguientes características observables:
El dominio está formado por los valores de R excepto los que anulanel denominador.
Para cada valor de x que anula el denominador tenemos una asíntota vertical: Q(a)=0 « x=a es una asíntota vertical de f(x).
Si x=a es una raíz simple de Q(x)=0, las ramas laterales de la asíntota x=a tienen sentidos distintos, una hacia +¥ y la otra a  -¥. Si x=a es una raíz doble, ambas ramas van o hacia +¥ o hacia -¥.
Si el grado de P(x) es una unidad mayor que el grado de Q(x)existe una asíntota oblicua, la misma, tanto si x ® +¥ como si x ® -¥
Si P(x) y Q(x) tienen el mismo grado, hay una asíntota horizontal en y=m/n siendo m y n los coeficientes  respectivos de mayor grado de P(x) y Q(x).
Si el grado de P(x) es menor que el de Q(x), hay una asíntota horizontal en y=0.
Las funciones racionales son del tipo:

El dominio de una función racional de lo forman todoslos números reales menos los valores de x que anulan el denominador.
Ejemplo




Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación:
  .

Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones   




Construcción de hipérbolas
Las hipérbolas    son las más sencillas de representar.
Sus asítontas son los ejes
El centro de lahipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen.


A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.
1. Traslación vertical

El centro de la hipérbola es: (0, a).
Si a>0,  se desplaza hacia arriba a unidades.


El centro de la hipérbola es: (0, 3)
Si a 0,  se desplaza a la izquierda b unidades.


El centro de la hipérbola es: (-3, 0)
Si b 0   esnegativa en   (- ∞, 0)   y positiva en   (0, + ∞) .


8)   Monotonía:


        Como   k > 0   la función es decreciente en:   (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞)


9)   Máximos y mínimos relativos:


          La función no tiene ni máximos ni mínimos.


10)   Curvatura y puntos de inflexión:


          Como   k > 0  , la función es convexa en   (- ∞ 0)   y concava en   (0, + ∞) .11)   Asíntotas:


          La función tiene una asíntota horizontal en   y = 0 .


          



          La función tiene una asíntota vertical en   x = 0
          (valor que anula al denominador)


          


12)   Acotación:


          La función no está acotada ni superiormente ni inferiormente.



          



          
Como la gráfica es una hipérbola equilátera,cada punto de la gráfica forma con el punto donde se cortan las asíntotas, un rectángulo de área 5 unidades cuadradas.
Dibuja la siguiente hipérbola y sus asíntotas y calcula la constante   k :   y = (x - 3) / (x + 1)














Por lo tanto, podemos expresar la función original de la siguiente forma:





k = - 4


•   La función tiene una asíntota horizontal en   y =1 .


    


•   La función tiene una asíntota vertical en   x = - 1
   (valor que anula al denominador y no anula al numerador)


La función corresponde a una transformación de la función   f(x) = - 4 / x


y = f(x + 1) + 1


Es decir, es una traslación horizontal una unidad hacia la izquierda y una unidad hacia arriba.



          


Como la gráfica es una hipérbola...