Estudiante
Páginas: 2 (307 palabras)
Publicado: 2 de agosto de 2012
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Veamos lademostración de Euclides (325 a. C. - 265 a. C.)
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El área del cuadrado ABFE es el doble del área del triángulo FCB, ya que tienen la misma base y están situados entre paralelas
Lostriángulos FCB y ABI son iguales:
Dos lados iguales AB = BF y BI = BC y un ángulo igual FBC= ABI.
El área del rectángulo BIKN es doble del área del triángulo ABI pues tienenla misma base y están situados entre paralelas.
De donde tenemos:
[BIKN]= 2 [ABI] = 2 [FBC] = [ABFE]
[CJKN] = 2 [AJC] = 2 [BCH] = [ACHG]
y por tanto:
[ABFE] +[ACHG] = [BIKN]+[CJKN] = =[BIJC]
Recíprocamente. Si en un triángulo el cuadrado construido sobre uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados construidos sobrelos restantes lados del triángulo, el ángulo comprendido por estos dos lados es recto.
Demostración.- Tomamos un segmento AD = AB y perpendicular a AC, como AB2+AC2 = BC2 ypor ser rectángulo el triángulo ADC, se tiene
AD2 + AC2 = DC2
pero AD = AB
BC2 = AB2 + AC2 = AD2 +AC2 = DC2
y BC = DC y los triángulos DAC y CAB son congruentes,por tener los tres lados iguales.
Problema .- Un junco enraizado en el fondo de un estanque se encuentra a 90 cm. de la orilla, y su cabeza se eleva 30 cm. sobre el agua.Por la fuerza del viento se ha inclinado (sin doblarse) de modo que su cabeza toca la orilla a ras de agua. ¿Cuál es la profundidad del estanque y la altura del junco? Solución
Veamos lademostración de Euclides (325 a. C. - 265 a. C.)
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El área del cuadrado ABFE es el doble del área del triángulo FCB, ya que tienen la misma base y están situados entre paralelas
Lostriángulos FCB y ABI son iguales:
Dos lados iguales AB = BF y BI = BC y un ángulo igual FBC= ABI.
El área del rectángulo BIKN es doble del área del triángulo ABI pues tienenla misma base y están situados entre paralelas.
De donde tenemos:
[BIKN]= 2 [ABI] = 2 [FBC] = [ABFE]
[CJKN] = 2 [AJC] = 2 [BCH] = [ACHG]
y por tanto:
[ABFE] +[ACHG] = [BIKN]+[CJKN] = =[BIJC]
Recíprocamente. Si en un triángulo el cuadrado construido sobre uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados construidos sobrelos restantes lados del triángulo, el ángulo comprendido por estos dos lados es recto.
Demostración.- Tomamos un segmento AD = AB y perpendicular a AC, como AB2+AC2 = BC2 ypor ser rectángulo el triángulo ADC, se tiene
AD2 + AC2 = DC2
pero AD = AB
BC2 = AB2 + AC2 = AD2 +AC2 = DC2
y BC = DC y los triángulos DAC y CAB son congruentes,por tener los tres lados iguales.
Problema .- Un junco enraizado en el fondo de un estanque se encuentra a 90 cm. de la orilla, y su cabeza se eleva 30 cm. sobre el agua.Por la fuerza del viento se ha inclinado (sin doblarse) de modo que su cabeza toca la orilla a ras de agua. ¿Cuál es la profundidad del estanque y la altura del junco? Solución
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