Estudiante

Universidad de Talca Instituto de Matem´tica y F´ a ısica

C´lculo a Integral de Riemann

Gu´ de Ejercicios N◦ 3 ıa
1. Aproximar el ´rea de la regi´n limitada por las siguientes curvas a o y =ln(1 + x2 ) ; y=0 ; x=1 Usando la suma de Riemann, con n = 8. 2. Encuentre el ´rea de la regi´n limitada por las curvas: a o y = −x2 + 3x + 4 ; y=0 ; x=2 ; x=4
n

Primero aproximar usando suma deRiemann con n = 8 y luego calcular el ´rea usando el a l´ ımite de suma de Riemann, es decir A = lim
n→+∞

f (xi )∆x
i=1

4

3. Dada la integral definida
0

(1 + x)2 dx.

se pide:

(a)Calcular el valor aproximado que se obtiene, al dividir el intervalo [0, 4] en 4 subintervalos de igual longitud, eligiendo en cada uno de ellos el punto de la derecha. (b) Calcular y simplificar la sumade Riemann obtenida al dividir el intervalo [0, 4] en n subintervalos, eligiendo en cada uno de ellos el punto que usted desee. (c) Calcular, usando la definici´n correspondiente, su valor exacto. o(d) Usando el Teorema fundamental del C´lculo, comprobar el resultado anterior. a 4. Calcular
n→+∞

n

lim

i=1

2i 1+ n

4

2 n

5. Usando, primero la definici´n de integral de Riemann yluego el Teorema fundamental del o C´lculo, verificar que: a
b

(i)
a

1 x dx = (b2 − a2 ) 2

b

(ii)
a

1 x2 dx = (b3 − a3 ) 3

6. Determinar el ´rea de la regi´n limitada por la gr´ficade la funci´n a o a o y = f (x) = −x2 + 2x + 3 y el eje X. x+1 e3x
2

7. Sea f (x) =

(a) Calcular aproximadamente
0

f (x) dx 5 9

(b) Determinar una funci´n y = g(x) sabiendo que g (x) =f (x) y que g(0) = o

M

M

(c) Calcular
0

f (x) dx para cualquier n´mero M positivo, luego calcular A = u

M →+∞

lim

f (x) dx .
0

¿Se puede representar el valor de A como un´rea bajo la curva? justificar su respuesta. a 8. Determine el valor de las siguientes integrales definidas:
e 1

a)
1 2

dx dx x(1 + (ln x)2 ) f (x) dx, donde f (x) =
a 4

b)
0

x3 ex dx si...