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8

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zyxwvutsr
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zyxwvut
COOKDLNADAS KtCTANGULARFS

AREA DE U N POLIGONO DE VERTICES CONOCIDOS.

1' .

17. Hallar el área A del triángulo cuyos vértices son los punto\ de
coordenadas (2, ) , ( 5 , 71,( -3. 4 ) .
3

I
A = k I

I-

2

J

5

7
4

-3
2

i
-

3

~ 4 [ 72 t 5 4
-

i (-

;I $20-9(43)(3)--2 4

8

+ 21

--

15) -

(-3)(7)

5 31

t

x

11,s unidadesdesu-

perficie

18. Hallar el área A del pentágono cuyos vérticcs son los puntos de coordenadas ( - - 5 , -2),

( 2 5),
-,

(2, ) ( 5 , 11, (2,4 .
7,
-)

A='

2

2

7

I

5

2

-4

Solución: 66 unidades de superficie. Si se toman los vértices
recorriendo el polígono en el sentidocontrario al de las agujas
del reloj, el área se considera positiva, y en caso contrario negativa.

zy
zyxw

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Representar los puntos de coordenadas: (2, (4, O ) , (--3, I ) , ( ~ ' 2 ,--I),
3),
(-2, v'8),
O), (O, O), (4,5, -) ( d i o , .- di), , 43, (2,3, -6).
2,
(O

(t'z

(--2,) (-2, d 3 ) , ( O , I ) ,
O,

2. Representar los triángulos de vértices: a ) (O, O),(-1,

5), (4, ) ;
2
6) (d2, O), (4,
5);(---3, 2);
C)
(2 d 2 , -A), (\'3, 3 ) , (--2, I -1- d 8 j .

+

3. Representar los polígonos de vértices :

a ) (-3, 2 ,(1, 5 ) , ( 5 , 3), ( I , -2);
)
)
h ) (-5, O), (--3, -41, ( 3 , --3), (7, 2, ( 1, 6).
4. Hallar la distancia entre los pares de puritos cuyas coordenadas son :
a ) (4,I ) , ( 3 , - 2 ) ;
c')
(O, 31, (-4, I);
e ) (2,-61, (2,
-2);
6) (-7,4), (1, -11);
d ) (-I,
-51, ( 2 , -3);
. f ) (-3, I ) , ( 3 , - I ) .
Sol. a ) d @ b ) 17, c ) 2d51 d ) di3, e ) 4,,f)d ) O .
2
5. Hallar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son:
4 (-2, 51, (4, (7,- )
3),
2;
C)
(2,
-5), (-3, 41, (O, -3);
6) (0, 41,(.-4, I ) , (3, -3);
d ) ( - I , -2), (4, 2 , (-3, 5 ) .
)
Sol. a ) 23,56, b) 20,67, c ) 20,74, d )21,30.
6 . Demostrar que los triángulos dados por las coordenadas de sus vértices son isósceles:
a ) (2, 2 , (--3, ---I ), ( I , 6);
-)
c ) (2, 4 ,( 5 , 11, (6, 5 ) ;
1
b ) (-2, 2 ) , (6, 61, (2, -2);
d ) (6, 7), (-8, --I), (-2, - )
7.

zy
zyxwvutsrqp

zyxwvutsrqp
zyxwvutsr
zyxwv
zyxwv
zyxwvuts
zyxwv
COORDkNADAS RECTANGULARES

9

7. Demostrar quc los triángulos dados por lascoordenadas de sus vértices son rectángulos. Hallar sus
áreas.
a ) (O, 9), (-4. - - I ) , ( 3 , 2);
c ) (3,
(-2, 3). (0,4);
h ) (10, 5). (3, 2), (6. -5);
d ) (-2, 8)-(-6, 1). (0, 4).
Sol. Areas: a ) 29, 6 ) 29, c ) 7,5, d ) 15 unidades de superficie.

--a,

8. Demostrar que los puntos siguientes son los vértices de un paralelogramo:

9. Hallar las coordenadas del punto que equidista delos puntos fijos:
U ) ( 3 . 3), (6, 2). (8, -2);
so/. a ) (3,--2). h ) (-5,

I),

h ) (4, 3 ) , (2, 7 ) ,(-3,
c) (3, I ) .

-8);

c)

(2, 31, (4, --I),

( 5 , 2).

10. Demostrar. incdiante la fórinula de la distancia, que los puntos siguientes son colineales:

a ) (O. 4). ( 3 . -2). (-2, 8);
h ) (-2, 3 ) , (-6. I ) . (-10, - - I ) ;

c ) ( l . 21, (-3.
d ! (1, 31, (-2,IO), (4, -4);
-3L (3, 7).

11. Demostrar que la suma de los cuadrados de las distancias de un punto cualquiera P ( x , y ) a dos vér-

tices opuestos de u n rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de las distancias a los otros dos
vértices. Supóngase que las coordenadas de los vértices son (O, O), (O, h), (a, b ) y ( a , O).
12. Hallar el punto de abscisa 3 que diste I O unidades delpunto (-3,
Sol. ( 3 , -2). (3, 14).

6).

13. Hallar las coordenada\ de u n punto P(x. y ) que divida al segmento que determinan P,(x,,y,)

4

II

14

13

14. Hallar las coordenadas del baricentro de los triángulos cuyos vértices son

15 Sabiendo que el punto (9, 2) divide al wginento que determinan lo\ puntos P,(6, 8) Y Pz(xz,.h) en
la relación r = 3 7, hallar las Coordenadas...