estudiante

Semana 7

CURSO: MATEMÁTICA BÁSICA
Tema

:

Sistemas de ecuaciones lineales: Método de Cramer y por Reducción

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
DEFINICIÓN: Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto
de ecuaciones de la forma:
a11 x1  a 12 x 2    a1n x n  b1
a x  a x    a x  b
 21 1 22 2
2n n
2




 
a m1 x1  a m 2 x 2   a mn x n  bm


(1)

Siendo:
-

aij son los coeficientes del sistema.

-

bi son los términos independientes del sistema.
x j son las incógnitas del sistema.

Donde: las constantes reales de las ecuaciones (1) se pueden establecer en el siguiente arreglo
de m x n
a1n 
 a11 a12
a
a2 n 
 21 a22
 a la cual denominaremos matriz de coeficientes.
A




amn 
am1 am 2


A los vectores:
 x1 
x 
X   2

 
 xn 

Dpto. de Ciencias

 b1 
b 
B 2

 
bm 

Semestre 2013-II

1

X es vector columna de las incógnitas ó vector solución.
B es vector columna de los términos independientes.
Entonces, el sistema (1) se puede representar matricialmente de la siguiente forma
AX=B
Clasificación de los sistemas deecuaciones en función del conjunto de soluciones:
1) Sistema Incompatible (S.I): cuando no tiene solución.
2) Sistema Compatible (S.C): cuando admite más de una solución.
a) Sistema Compatible y Determinado (S.C.D): esto es, que tenga una única solución.
b) Sistema Compatible e Indeterminado (S.C.I): esto es, que tenga infinitas soluciones
que se va a calcular resolviendo el sistema asociado ala matriz escalonada.

METODOS DE SOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1.

MÉTODO DE CRAMER

Se utiliza para resolver sistemas cuadrados del tipo:
a11 x1  a12 x2 
a x  a x 
 21 1 22 2


an1 x1  an 2 x2 


 a1n xn  b1
 a2 n xn  b2
 ann xn  bn

con n ecuaciones lineales y con n incógnitas.
Es decir el sistema es de Cramer si tiene tantas ecuacionescomo incógnitas, en ese caso la
matriz de coeficientes A es una matriz cuadrada.
Si el determinante A de la matriz de coeficientes A es diferente de cero, entonces el sistema tiene una
única solución. Además, la solución está dada por

Dpto. de Ciencias

Semestre 2013-II

2

x1 

A1
A2
An
, x2 
, …, xn 
A
A
A

Donde Ak , el numerador de xk , es el determinante de la matrizobtenida al reemplazar la k-ésima
columna de A por la columna de constantes.

2 x  y  5  0
Ejemplo: Dado el sistema de ecuaciones 
. Solucionar el sistema.
 x  3y  6
Solución:

2 x  y  5
El sistema, se puede escribir de la siguiente manera: 
 x  3y  6
El determinante A de la matriz de coeficientes es: A 

2 1
1 3

= (2)(3)-1(1) = 5

Como el determinante de lamatriz de coeficientes es diferente de cero, entonces el sistema
tiene solución única.
Luego, calculamos:

A1 

5 1
6

3

 21

A2 

2 5
1

6

 17

Entonces, la solución del sistema de ecuaciones es:

x

A1
A



21
5

y

A2
A



17
5

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema utilizando la regla de Cramer
{

Solución:
Dpto. de CienciasSemestre 2013-II

3

En primer lugar se resuelve el determinante de la matriz de coeficientes:

; como A  0 , existe una solución única.
Resolvamos para x:

Resolvamos para y:

Resolvamos para z:

La solución es:
| |
| |

2.

| |
| |

| |
| |

MÉTODO DE GAUSS

Este método comprende una serie de operaciones sobre un sistema de ecuaciones lineales para obtener
en cada pasoun sistema equivalente; es decir, un sistema con la misma solución que el sistema original.
Dpto. de Ciencias

Semestre 2013-II

4

La variante que suele denominarse método de Gauss-Jordan consiste en la obtención de la forma
escalonada reducida de la matriz/matrices de los coeficientes. Es decir, una vez obtenida la forma
escalonada se pivota hacia arriba para anular todos los...