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Métodos Directos e Indirectos o Iterativos.

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
Se le conoce como el “Método de los desplazamientos o el de las sustituciones Sucesivas”.
Planteado en 1874, su nombre se debeen honor a los matemáticos alemanes Johann Carl
Friedrich Gauss (1777-1855) y Philipp Ludwig Ritter von Seidel (1821-1896). La Matriz
y la

. Entonces, el esquema iterativo, para Gauus-Seidel,queda así:

;

y la

Analizando, por elementos, se tiene:

Para un sistema de 3x3, por ejemplo, las ecuaciones iterativas quedarían por filas, así:

Guía de la Asignatura de Métodos Numéricos.Prof. Ing. Freddy Molina Villa.

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Algoritmo básico, del método de Gauss-Seidel:

Inicio.
Lea n, Tol, Ermax

Para i = 1 a n Haga
Lea

Paraj = 1 a n
Lea
Fin, para j.
Fin, para i.
Para k = 1

a

Para i = 1

M=180. Haga
a n. Haga

Para j = 1

a n. Haga

Fin, para j.
Haga

–

Fin, para i.
Fin, para k.
Fin, para k.Fin

Guía de la Asignatura de Métodos Numéricos.
Prof. Ing. Freddy Molina Villa.

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Ejemplo de aplicación: Dado que el siguiente arreglo, esdominante diagonalmente,

procedemos a probar el criterio de convergencia con el método de Gauss-Seidel:

Las Matrices

y la
;

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Prof. Ing. FreddyMolina Villa.

, quedan así:
; y la

; la inversa de S:

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; se observa que

Aplicándose la fórmula cuadrática, para

.

, se obtiene:

;entonces,

. y

El Radio Espectral de Gauss-Seidel

.

, será el mayor valor de entre todos los

, en

valor absoluto, que sea menor que la unidad, valor que determinaría la convergenciadel
sistema; es decir, el
corresponde con:

, que para el caso observamos que
.

Luego, el esquema iterativo planteado así por Gauss-Seidel es convergente, y por
consiguiente, con él se...