ESTUDIANTE


TRANSFORMACIONES LINEALES
Definición
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones sellamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebralineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Propiedades

 Para toda transformación lineal T: V  W, T (-x) = -T (x)

 Para toda transformación lineal T: V  W, T (0) = 0 ( El que aparece en la izquierda es el vector nulode V, mientras que el que aparece en el lado derecho es el vector nulo de W. Se puede escribir también T (0V) = 0W )

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, W un espacio vectorial, {v1,..., vn}una base de V, y {z1,..., zn} un conjunto cualquiera de vectores de W. Entonces existe una única transformación lineal T: V  W tal que T (vi) = zi (1 ≤ i ≤ n)


Teorema fundamental de lastransformaciones lineales

Sea T: V → W una transformación lineal.
Supongamos que conocemos una base B del dominio, tal que B = {v1, v2,…, vn}
Además, conocemos las imágenes de los vectores de esa base, es decir, T(v1), T(v2) … T(vn) son también datos del problema.
Bajo esas hipótesis, es posible conocer la imagen de cualquier vector v ε V y dicha imagen es única. Por tal motivo, también seconoce a este teorema como el de unicidad de las transformaciones lineales (siempre y cuando sean conocidos los elementos más arriba indicados)
En efecto; por ser B base del espacio vectorial V, cualquier vector del dominio puede obtenerse como combinación lineal de los vectores de la base, y dicha combinación lineal es única (se sugiere sobre este punto consultar los apuntes de clase o labibliografía propuesta)
Es decir:
v = k1v1 + k2v2 + … + knvn (1)
donde v es un vector cualquiera del dominio y k1, k2,…, kn son escalares (dichos escalares son las coordenadas del vector v en la base B; tal cual se ha expresado, como los vectores de la base son linealmente independientes, esos escalares son únicos. En otras palabras, el sistema de ecuaciones lineales que resulta de resolver laecuación vectorial (1) es un sistema compatible determinado)
Si los vectores que se encuentran en ambos miembros de la ecuación (1) son iguales, tal como allí se indica, entonces sus imágenes son también iguales. Por lo tanto:
T(v) = T(k1v1 + k2v2 + … + knvn) = T(k1v1) + T(k2v2) + … + T(knvn) = k1T(v1) + k2T(v2) + … + knT(vn) (2)
por ser T lineal.
Como T(v1), T(v2) … T(vn) son conocidos, y losescalares k1, k2, ..., kn se obtienen resolviendo la ecuación vectorial (1), a través de un sistema de ecuaciones lineales, de la lectura de la ecuación (2) se concluye que es posible obtener la imagen T(v) de cualquier vector v del dominio, siendo esta imagen única, ya que lo son los escalares, lo que demuestra el teorema.


El Núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial deldominio

Sea T: V → W una transformación lineal.
Vamos a demostrar que el Núcleo de la transformación lineal [Nu (T)] es un subespacio vectorial del dominio V.
Recordemos que Nu (T) está formado por todos los elementos de V cuya imagen es el vector nulo (0) del codominio W.
Para probar que Nu (T) es un subespacio vectorial, debemos demostrar:
a.- Que Nu (T) no es un conjunto vacío.
b.-...