Estudiante

Formulaciones matemáticas del
problema de pandeo en estructuras delgadas
Msc. Omar Antezana Román

Docente de Ingeniería Civil
Responsable del Laboratorio de Resistencia de Materiales y Estructuras
de la Facultad de Ciencias y Tecnología
de la Universidad Mayor de San Simón

Resumen
En el presente artículo, se hará un estudio matemático y numérico para el problema de pandeo de placas.La formulación
nal resulta de considerar los momentos como incógnita auxiliar en la ecuación que gobierna el pandeo de placas. El estudio
de la parte numérica se realizará mediante el método de elementos nitos, para aproximar las incógnitas, lo que conduce
a un problema general de autovalores.

Abstract
In this article, shall be a mathematical and numerical study to the problem of bucklingof plates. The nal formulation
is considered unknown moments auxiliary in the equation that governs the buckling of plates. The study of the
numerical part is It will be by the nite element method, for approximating the unknowns, what It leads to a
general problem of eigenvalues.

1. Introducción

media es plana.

dos planos paralelos, próximos entre sí, y una super-

Hipótesis de lateoría de placas
Kirchho-Love

cie cerrada cuyas generatrices con perpendiculares a

A continuación se listan las hipótesis hechas por

Una placa es un sólido deformable limitado por

los planos ya mencionados. Las supercies formadas

Kirchho y love para la teoría de placas delgadas.

por los planos paralelos se denominan cara inferior y

1. La placa es un cuerpo deformable cuyamateria

cara superior respectivamente y la supercie cilíndri-

constituye un medio continuo y su material es

ca se denomina borde.

linealmente elástico, elásticamente isotrópico y

La distancia entre las placas se denominará espe-

homogéneo.

sor de la placa y será denotada por t. La supercie
media de la es aquella que equidista de las caras en
toda la extensión de la placa.Se dice que una placa
es plana si en el estado no deformado su supercie

2. Las deformaciones producto de los agentes externos son pequeñas.
3. En principio la placa es plana.
1

4. La placa es delgada y su espesor t no sobrepasa

∀u, v ∈ H m (Ω),

la décima parte de la menor de las dimensiones

Introducimos también el siguiente espacio:

planas.

H(div; Ω) := v ∈ [L2 (Ω)]2 :div v ∈ L2 (Ω) ,

5. En comparación con el espesor de la placa, las

este es un espacio de Hilbert con la norma:

deexiones son pequeñas.

2
H(div, Ω)

v

2. Deniciones necesarias

=

v

2
0, Ω

+ divv

2
0, Ω

.

Además denotamos por D(Ω) el espacio de funciones

Vamos a suponer que los problemas de estudio

innitamente diferenciables que tienen soporte com-estarán denidos en un domino poligonal Ω de R2

m
pacto en Ω y por H0 (Ω) la clausura de D(Ω) con

con frontera ∂Ω. Será necesario denir los espacios

respecto a la norma ·

de Sobolev, los cuales están basados en
L2 (Ω) =

v : Ω → R, medible :

|v|2 dx < +∞ ,

.

Si la frontera ∂Ω es lo sucientemente suave, se

.

pueden dar deniciones equivalentes de espacios sobre lafrontera que serán de mucha utilidad en el de-

H m (Ω) = v ∈ L2 (Ω) : ∂ ∈ L2 (Ω), ∀α ∈ N2 : |α| ≤ m ,

sarrollo de nuestra investigación y se basan en

donde α = (α1 , α2 ) y

L2 (∂Ω) =
|α| = α1 + α2 ,

de producto interior ·, ·

distribuciones. Este espacio está provisto de la semi∂αv

.

cio lo dotamos de la norma

|α|=m

inducida por el producto interior

g
=

0, ∂Ωdonde γ0 es el operados de trazas usual. A este espa-

2
0, Ω

α

y de norma ·

H 1/2 (∂Ω) := γ0 (H 1 (Ω)),

norma
|v|2 Ω =
m,

0, ∂Ω

Denimos en espacio

son todas las derivadas tomadas en el sentido de las

m, Ω

|v|2 ds < +∞ ,

v : ∂Ω → R :
∂Ω

∂ |α| v
,
∂xα1 ∂xα2
1
2

u, v

m, Ω

ciones de D(R2 ) restringidas a Ω.

Para un entero m > 0 sea

∂α =...