Estudiante

Cálculo I — Taller A

Universidad
Industrial de
Santander

Números reales – desigualdades
Prof. Doris González Rojas
Gilberto Arenas Díaz

Facultad de Ciencias
Escuela de Matemáticas

Nombre:

Código:

I. Determine si cada una de las siguientes afirmaciones es cierta o falsa. Justifica tu respuesta:
j) |x − 5| < 2 implica que 3 < x < 7.

a) Todo número entero es irracional.
b)Existen números reales que sean racionales e
irracionales a la vez.
c) pq y p − q son números naturales si p y q lo son.

d) La suma de cualquier par de números irracionales
es un número irracional.
e) Si m es un número irracional y n es un número
racional entonces n + m es un número irracional.
f) Existen números irracionales r y s tales que r · s
es racional.

k) Si x ≥ y entonces |x− y| = |x| − |y|.
l) No existe número real x para el que |x − 1| = |x − 2|.
m) Para todo x > 0 existe un y > 0 tal que |2x + y| = 5.
n) Para todo x ∈ R, |x − 5| = |5 − x|.

ñ) Para todo x ∈ R, si x2 > 1 entonces x > 1.
o) La expresión
x ∈ R.

g) No existe ningún número real tal que x2 + 1 = 0.

2 − 7x
representa un número real para todo
3+x

p) Si x < 5 entonces |x| < 5.

h) 3a < 7apara todo a ∈ R.

i) Para todo a y b en R, a.b > 0 implica a > 0 y b > 0.

q) |1 + 3x| ≤ 1 entonces x ≥

−2
3 .

II. Hallar la solución de la ecuación o desigualdad dada, expresarla en forma de intervalo y representarla en la recta
numérica.
5

3

1) (x − 2) − 9 (x − 2) = 0
x+7
x−4
15
2)
=
+
x−2
x + 2 x2 − 4
3) |x − 2| = 2x − 6
4) x2/3 + 4x1/3 − 5 = 0

5) 3 |x − 2| − 2|x| = 5
4
2
20
6)
+
= 2
x−1 x+1
x −1
√
7) 2 = 3 − x
4

8) x − 81 = 0
9) 3x − 7 ≥ 2x + 1

10) 2x2 + 5x − 1 < 2x + 1
11) 2 (7x − 3) ≤ 12x + 16
12) 5 −

1
x

2

x2 − 4
≤2
1 − x2
17) |x − 1| |x + 2| = 3
16)

18) |x| − 2 |x + 1| + 3 |x − 2| = 0
19) |x + 2| − |x − 1| < 0
20)

1
−3 ≥3
x

21) (x + 5)(x − 2) ≤ 0

1
√
≥0
(x + 2)(x − π)
x+8
23)
x

30) 4|x +1| − 2|x − 3| ≥ 4
7x − 1
31)
1
x
33) 7x < 3x − 4
34) 9 − 5x ≥ 5 + 3x
35) x − 7 ≤ 3x − 5 − 2x
36) 12x > 5x − 4
37) 4x2 − 4x − 3 < 0
38) 3x2 − 4x + 1 > 0

39) 8x2 + 53x − 21 > 0
40) x2 − 3x ≥ 4

41) 3x2 + 10x + 3 ≥ 0
42) −x2 − x − 1 ≥ 0

43) x3 + 4x2 + x − 6 ≥ 0

44) x3 − 37x + 84 < 0
x+7
45)
>0
x−5
x−1
46)
≤0
x
x2 − 8x + 15
47)
0
x + 4x − 5
x+1
x
49)
<
2−x
3+x2
1
50)
<
x+1
3x − 1
1
4
51)
≥
3x − 7
3 − 2x
x
1−x
52)
<
x+1
x−1
3
12
53)
+
1 + x2 − x + 1
√
√
55) x2 + 3x + 2 > 1 − x2 − x + 1
√
56) 1 − x ≥ 2
√
57) x − 2 + 1 ≥ 0
√
√
58) 25 − x + 5 − x − 2 > 0
√
1 − 1 − 4x2
59)
3.

Encuentre dom g, g(−2), g(0), g(2), g(5) y
trace su gráfica.

√
16 − x2
c) g(x) =
.
ln(1 + x)

b) Evalúe f (−π/2), f (0), f (1) ytrace el gráfico de la función f (x) definida como sigue:

 cos x

3/2
f (x) =

 2
x +2

si

x < 0,

si

x = 0,

si

x > 0.

4. Se debe construir un corral rectangular para animales, se usará una pared como uno de los cuatro lados.
El pie de cerca para los otros tres lados cuesta $ 5 000 y debe gastar $ 1 000 por cada pie de pintura
para la parte de la pared que forma elcuarto lado del corral. Se tienen $ 180 000 para dicho trabajo.
¿Cuáles dimensiones maximizan el área del corral que se debe construir?
5.

a) Se sabe que la relación entre la temperatura en grados Celsius y la temperatura en grados Fahrenheit es lineal y que al nivel del mar, el agua se congela a 32◦ F (0◦ C) y hierve a 212◦ F (100◦ C).
Determine una ecuación lineal que relacione dichastemperaturas y úsela para determinar que
temperatura Fahrenheit corresponde a 30◦ C.
b) Se corta un borde de ancho uniforme de un pedazo de tela rectangular. El pedazo de tela resultante
es de 20 por 30 cm. Si el área original era el doble de la actual, halle el ancho del borde que se
cortó.

6. En la figura se muestra la gráfica de una función y = f (x), cuyo dominio es [0, 4]. Graficar la...