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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

GENERALIDADES

 Históricamente las Ecuaciones Diferenciales se han originado en la Física y en la
Química.
 Actualmente, las Ecuaciones Diferenciales aparecen en la ingeniería, biología,
ciencias sociales, economía, etc.

Una Ecuación Diferencial es una ecuación que involucra una función
desconocida y algunas de sus derivadas.
En una EcuaciónDiferencial Ordinaria la función desconocida depende de
una sola variable.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

du = F (t )G(t )
dt
d   g sin(θ) = F(t)
dt l

ecuación del crecimiento

2

2

ecuación del péndulo

d y   y 2 1 dy  y = 0
  dt
dt

ecuación de Van der Pol

d Q  RdQ  Q = E(t)
L
dt
dt C

ecuación de un oscilador LCR

2

2

2

2

EcuacionesDiferenciales Ordinarias

La expresión general de una ecuación diferencial ordinaria se escribe,
La solución es una función real
con las propiedades siguientes:

y( x)

definida en un intervalo I que cumple

F ( x,y,y´,y´´,...y )0
(n)



La función y( x)

y sus n primeras derivadas existen x  I

 La función y( x)

satisface la ecuación diferencial x  I

CONDICIONESAUXILIARES
 Condiciones Iniciales: Las condiciones se establecen para un solo valor
de la variable independiente. Ejemplo: la ecuación de la oscilación de un
muelle,

F (t ) 
x´´   a m  x´  k m x  g 
m 










x(0)  x ; x´(0)=v
0

0









Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

 Condiciones de Contorno: Las condiciones se establecen paramás de un
(1) valor de la variable independiente. Ejemplo

y´´  9 y  sin  x 
y(0)  1 ; y´(2)= -1
 Si el orden más elevado de la derivada de y en la ecuación diferencial es
n, entonces la ecuación es de orden n

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MÉTODOS DE UN PASO
Para calcular una aproximación numérica de

y´ f ( x,y),

y(x )  y
0

en el intervalo  a,b 


0 Se subdivide el intervalo [a,b] en N subintervalos

xn =a+nh ; h= ba

N
 Calcular la aproximación

n=0, 1, 2, 3... N-1

yn  y( xn )

por una fórmula del tipo

y = y +hΦ(h,x ,y )
n+1

donde

n

Φ 

 Se calcula

n

n

es la función que caracteriza el método

y

n+1

 f ( xn, yn )

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MÉTODOS BASADOS EN LA SERIE DETAYLOR
Los Métodos más sencillos de un paso, se basan en el desarrollo en serie de
Taylor de la solución y(x)
h p-1 

(p )
h p+1 ,
(p+1)
y  xn+1   y( xn )  h  y´( xn )... y ( xn )   y (n )
p! 
 p+1!


x   x
n

n

n+1

Eliminando el último término y sustituyendo las derivadas de y por la función
f ( x, y )

y sus derivadas a través de la ecuación

y´= f (x, y )




h p-1 
(p )
y  xn+1   y( xn )  h  f ( xn , y( xn ))... f ( xn , y( xn )) 
p! 

Φ(h,xn ,yn )





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MÉTODOS BASADOS EN LA SERIE DE TAYLOR

h p-1 
(p)
  h,xn , yn    f ( xn , y( xn ))... f ( xn, y( xn )) 
p! 



Cálculo de las Derivadas de

f ( x, y)

Las derivadas de f se calculan mediantela regla de la cadena,

d     . dy
dx x y dx
f ( 1) ( x, y ) 

f

(k )

df
( x, y )  f x ( x, y )  f y ( x, y ) f ( x, y )
dx

( k-1 )
( k-1 )
dk f
( x,y )  k ( x,y )  f
( x,y )  f
( x,y ) f ( x,y )
dx
x
y

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MÉTODOS BASADOS EN LA SERIE DE TAYLOR

Algoritmo:

xn+1  xn  h



y xn+1




h p-1 
 y( xn )  h f ( xn , yn )  ...  f (p ) ( x , yn )

n
p! 




x0  a ; y0 = y (a ) n = 0, 1, 2,..., N - 1
 Muy exacto

 Se necesitan las derivadas de f que pueden ser analíticamente complicadas

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MÉTODO DE EULER (1768)

Es el método más sencillo basado en la serie de Taylor. Toma los dos (2)
primeros términos del desarrollo de Taylor de y(x)...